所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力． 19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 男 女 是否需要志愿 40 30 需要 160 270 不需要 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：
2
0.010 0.001 P（k＞k） 0.0 k 3.841 6.635 10.828 【考点】简单随机抽样；独立性检验． 【专题】计算题． 【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． （3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，
∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
．
∵9.967＞6.635，
∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【点评】本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．
20．（12分）设F1，F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1斜率
为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程． 【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题． 【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据进而求得a和c的关系，离心率可得．
（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据
求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．
，求得a和b的关系，
【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得
，l的方程为y=x+c，其中
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组
2
2
2
2
2
2
2
化简的（a+b）x+2acx+a（c﹣b）=0 则
因为直线AB斜率为1，|AB|=
2
2
|x1﹣x2|=
，
得，故a=2b
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1， 即
得c=3，从而故椭圆E的方程为
．
，．
【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力
21．（12分）设函数f（x）=e﹣1﹣x﹣ax． （1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】分类讨论． 【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
x2
（2）根据e≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．
xx
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e﹣1﹣x，f′（x）=e﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加
（II）f′（x）=e﹣1﹣2ax
x
由（I）知e≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x， 从而当1﹣2a≥0，即
时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
x
x
时，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由e＞1+x（x≠0）可得e＞1﹣x（x≠0）． 从而当
时，f′（x）＜e﹣1+2a（e﹣1）=e（e﹣1）（e﹣2a），
x
﹣x
﹣x
x﹣x
xx
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0． 综合得a的取值范围为
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，
考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．
22．（10分）如图：已知圆上的弧证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
2
（Ⅱ）BC=BE?CD．
，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角． 【专题】证明题．
【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得
到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论． （II）欲证BC=BE x CD．即证【解答】解：（Ⅰ）因为
，
2
．故只须证明△BDC～△ECB即可．
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C， 故∠ACE=∠ABC 所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD， 所以△BDC～△ECB， 故
即BC=BE×CD．（10分）
【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．
23．（10分）已知直线C1
（Ⅰ）当α=
时，求C1与C2的交点坐标；
（t为参数），C2
（θ为参数），
2
．
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．
【专题】综合题；压轴题． 【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
【解答】解：（Ⅰ）当α=
时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x+y=1．
22
联立方程组，
解得C1与C2的交点为（1，0）
．
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
2
联立①②可得x=sinα，y=﹣cosαsinα；
2
A点坐标为（sinα，﹣cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，
P点轨迹的普通方程
故P点轨迹是圆心为
，半径为的圆．
．
【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力． 24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1． （Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象；其他不等式的解法． 【专题】计算题；作图题；压轴题． 【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，
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