2019精品教育年全国初中数学竞赛试题及答案

2013年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

??a＋2b+3c＝0ab+bc+ca

1．设非零实数a，b，c，满足?则222的值为（ ）

a+b+c??2a＋3b+4c＝0

6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．

7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．

8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________．

9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔

共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________

A A 支圆珠笔．

11

（A）— （B）0 （C） （D）1

22

2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x11

的一元二次方程中，以2，2为两个实根的是（ ）

x1 x2

（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0

3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） ．．． （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC

4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

（A）3 （B）4 （C）6 （D）8

3x3y+3x2y2+xy3+455．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：x?y=，

(x+1)3+(y+1)3—60

A

C D E E O D

（第3题)

B

B C （第4题)

F B E D C （第7题)

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且

1

OB=OC=3OA，直线y=—x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．

3

C

E A D x O B y （x?y）?z，则2013?2012?…?3?2的值为（ ） 且x?y?z=6071821546316389

（A） （B） （C） （D）

967 967 967 967

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

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12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可

能的度数．

13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当

构成三角形的三边长？证明你的结论．

z2=y，x－y=2时，a，b，c能否

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例

如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

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2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．【答案】A

【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故(a?b?c)?0．于是

23m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?2013?2012?L?4??3?m?3?32m?3m?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012?L?3??2?9?2?． 3310?3?60967

二、填空题

6．【答案】9

2 【解答】由于1?a?2?a?3，故b?a?2?231ab?bc?ca1． ??ab?bc?ca??(a2?b2?c2)，所以2a?b2?c2222．【答案】B

【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??29?2，因此(b?2)3?(39)3?9．

bc，x1x2?，aa7．【答案】

204 13S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，

S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，

S?AEFS?AEFFES?BEF411(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac11a2且x1x2?0，所以c?0，且 2?2?，2?2?2， ?222x1x2cx1x2x1x2c于是根据方程根与系数的关系，以

【解答】如图，连接AF，则有：

11，为两个实根的一元二次方程是2x12x2b2?2aca2x?x??0，即c2x2?(b2?2ac)x?a2?0． 2cc23．【答案】D

【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝

AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 2（第3题） （第3题答题）

10896，S?AFD?． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．

13解得S?AEF?8．【答案】2013

【解答】由已知a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0消去c，并整理得

22

（第7题答题）

OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都是有

OCOC理数，而AC＝?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．

2AD·AB不一定是有理数．

4．【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．

连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．【答案】C

【解答】设2013?2012?L?4?m，则

（第4题）

若a?1，则?b?8??59，无正整数解； 若a?2，则?b?8??40，无正整数解；

若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5． （i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195．

综上知abc的最大值为2013．

22（第4题答题）

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，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数） 9． 【答案】(1?a?b??c，【解答】由韦达定理得???ab?d，?c?d??a，

??cd?b．由上式，可知b??a?c?d． 若b?d?0，则a?db?1，c?bd?1，进而b?d??a?c??2． 若b?d?0，则c??a，有(a，，，bcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）． 经检验，数组(1，?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件． 10．【答案】207

【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则??4x?7y?2013，?x?y?350，

所以x?2013?7y4?(503?2y)?y?14， 于是y?14是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y，

所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141．

三、解答题

11．如图，抛物线y?ax2?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y??13x?1与y轴交于点D．

求∠DBC?∠CBE．

【解答】将x?0分别代入y??123x?1，y?ax?bx?3知，D(0，

1)，C(0，?3)，

所以B(3，0)，A(?1，0)．直线y??1

3x?1过点B．

（第11题）

将点C(0，?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3)，得a?1．

抛物线y?x2?2x?3的顶点为E(1，?4)．于是由勾股定理得

第 4

（第11题答题）

BC＝32，CE＝2，BE＝25．

因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，?BCE?90?．

因此tan?CBE=CECB=13．又tan∠DBO=ODOB?13，则∠DBO＝?CBE． 所以，?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?．

12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能的度数．

【解答】分三种情况讨论．

（i）若△ABC为锐角三角形． 因为?BHC?180???A，?BOC?2?A，

所以由?BHC??BOC，可得180???A?2?A，于是?A?60?．

（第12题答题（

i））

（第12题答题（ii））

（ii）若△ABC为钝角三角形．

当?A?90?时，因为?BHC?180???A，?BOC?2?180???A?，

所以由?BHC??BOC?180?，可得3?180???A??180?，于是?A?120?。

当?A?90?时，不妨假设?B?90?，因为?BHC??A，?BOC?2?A，

所以由?BHC??BOC?180?，可得3?A?180?，于是?A?60?．

（iii）若△ABC为直角三角形．

当?A?90?时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以?A不可能等于90?；

当?A?90?时，不妨假设?B?90?，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此?A可以是满足0???A?90?的所有角．

综上可得，?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?．

共 5 页

页13．设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z2?y,时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

【解答】不能．

x?y?2111(y?z)，b?(x?z)，c?(x?y)． 222112z(z?1)2因为y?z，所以a?(y?z)?(z?z)?．

222又由于z为整数，a为素数，所以z?2或?3，a?3．

依题意，得a?

当z?2时，y?z2?4，x?(y?2)2?16．进而，b?9，c?10，与b，c是素数矛盾；

当z??3时，a?b?c?0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

【解答】若n≤6，取m?1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10M?i)，7|(10M?j)．则有7|(j?i)，但0＜j?i≤6，矛盾．

故n≥7．

又当a1，a2，…，an为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则

2，10ki?m（i?1，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，满足

7|[(10j?m)?(10i?m)]，即7|10(j?i)，从而7|(j?i)，矛盾．

故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10i?m)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．

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