弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴由+=1，+=1，相减可得：∵x1-x2≠0，∴∴
=-1=kAB．
+（y1+y2）
=0．
=×
，化为：x1+x2=2（y1+y2）．
+（y1+y2）（y1-y2）=0．
设直线AB的方程为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0． △=16m2-24（m2-1）=8（3-m2）＞0．解得m2＜3． 又
=∈（0，），∴
．
．
-+m2=m2-．
由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=
∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）=2x1x2--m（x1+x2）+m2=2×而
．
．
∴?=m2-∈
解析：（1）由题意可得：+=1，2a=2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y=x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，可得
=×
．由+=1，+=1，相减可得：
=-1=kAB．设直线AB的方程
为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入?
=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）化简即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20.答案：解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100， 若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人， 年龄在[47，52）内的人数为4人， ∴P（ξ=3）=
=．
（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元）， ②当投入2艘A型游船时， 若1＜X＜3，则Y=3-0.5=2.5， 此时P（Y=）=P（1＜X＜3）=2=6， 若X≥3，则Y=3×
，
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此时P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=， 此时，Y的分布列为： Y P 此时E（Y）=
③当投入3艘A型游船时，
若1＜X＜3，则Y=3-1=2，此时P（Y=2）=P（1＜K＜3）=2-0.5=5.5， 若3≤X≤5，则Y=3×
此时P（Y=5.5）=P（3≤X≤5）=，
3=9，此时P（Y=9）=P（X＞5）=， 若X＞5，则Y=3×
此时，Y的分布列如下表： Y P 此时，E（Y）=2×
2 5.5 =6.2（万元）．
9 ，
2.5 （万元）．
6 由于6.2＞5.3＞3，
则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．
解析：（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ=3）的值．
（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元），当投入2艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）=布列，从而E（Y）=2×
（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分
=6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节
当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
21.答案：（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）=（x+2）（ex+a）； 若a≥0，则ex+a＞0；
∴当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴x=-2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点； 若a＜0，令f′（x）=（x+2）（ex+a）=0，则x1=-2，x2=ln（-a）；
当a＜-e-2时，x1＜x2，可知当x∈（-∞，x1）∪（x2,+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；
∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；
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当a=-e-2时，x1=x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点； 当-e-2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；
综上，当a=-e-2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜-e-2或-e-2＜a＜0时，f（x）有2个极值点;
（2）证明：若x0（x0≠-2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（-∞，-e-2）∪（-e-2，0）； 又f（-2）=-e-2-2a＞e-2； ∴a∈（-∞，-e-2）； 则x0=ln（-a）； ∴
令t=ln（-a）∈（-2，+∞），则a=-et； ∴∴
；
；
；
又∵t∈（-2，+∞）； ∴t+4＞0；
令g′（t）=0，得t=0；
当t∈（-2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增； 当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；
∴t=0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）=1； ∴f[ln（-a）]≤1，即f（x0）≤1．
解析：（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数； （2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t=ln（-a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．
本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．
22.答案：解：（1）由消去参数α，得+=1，即曲线C的普通方程为：+=1，
由ρsin（θ-）=，得ρsinθ-ρcosθ=1，化为直角坐标方程为：x-y+1=0．
（2）由（1）知，点P（-1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），
即（t为参数），代入+=1并化简得2t2--8=0，
△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2=，t1t2=-1， 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=所以|PA|+|PB|=
．
=
，
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解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程； （2）根据参数t的几何意义可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题． 23.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|， ∴f（x）＞4等价于解得x＜-1或
，
}； 或
或
，
∴不等式的解集为{x|x＜-1或
（2）当x∈[-3，-1]时，由f（x）＞4-2x得|x+a|+2-2x+2x-4＞0 即|x+a|＞2，∴a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立， 又（2-x）min=5，（-2-x）min=-1， ∴a＜-1或a＞5，又a＞0，∴a＞5， ∴a的取值范围为：（5，+∞）．
解析：（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；
（2）由条件可得|x+a|＞2，即a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，然后解出a的范围即可． 本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．
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