解:(1) 在第一象限内分别画出约束边界方程对应的直线,以及两条坐标轴:
l1: 2x1?3x2?30l2: x1?x2?12l3: 2x1?x2?20上述五条直线构成该线性规划问题的可行域为:OABCD。
如图3-2所示,可行域的五个顶点对应的坐标分别为:O(0,0);A(0,10); B(6,6); C(8,4); D(10,0)。
分别画出目标函数的等值线:
l4: Z?4x1?5x2?20l5: Z?4x1?5x2?54
由图3-9可知,目标函数等值线在顶点B(6,6)处取得最大值,最大值为z=54。即当x1?x2?6时,目标函数值的最大值为maxZ?4x1?5x2?54。
图3-2
(2)当目标函数变化为Z?4x1?7x2时,可行域不变,仍然是以OABCD为顶点围成的区域。由于斜率由-4/5增大为-4/7,所以,最优解所在的顶点为A(0,10),此时目标函数取得最大值。即当x1?0,x2?10时,目标函数的最大值为
maxZ?4x1?7x2?70。如图3-3所示。
(3)当第三个约束条件变化为2x1?x2?15时,可行域已经改变,是以O(0,0);A(0,10); B(3.75,7.5); C(7.5,0) 为顶点围成的区域。从图3-4可知,目标函数等值线在顶点B(3.75,7.5) 取得最大值,最大值为z=52.5。即当x1?3.75,x2?7.5 17
时,目标函数的最大值为maxZ?4x1?5x2?52.5。
图3-3
图3-4
例3-5 用图解法求解下列线性规划问题
maxZ?2x1?x2?2x1?x2?10?x?x?1?s.t?12?x2?2??x1,x2?0(1)(2) (3)(4)解: (1)以x1和x2为坐标轴建立平面直角坐标系.一般以x1为横坐标,x2为
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纵坐标。
(2)确定决策变量的可行域。
约束条件中,x1,x2?0表明所求的可行解都在第I象限内或坐标轴的正方向部分(包括原点)。
确定约束2x1?x2?10所限定的区域。画出直线2x1?x2?10,容易判断,其左下方的点满足约束2x1?x2?10 (比如,取原点(0,0)代入2x1?x2?10显然不等式成立).考虑到x1,x2?0,则区域OAB为所确定区域。如图3-5所示。
图3-5
确定约束x1?x2?1所限定的区域围。先画出直线x1?x2?1,容易判断,其右上方的点满足约束x1?x2?1。考虑到,x1,x2?0及2x1?x2?10,则区域ACBD为所确定区域,如图3-6所示。
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图3-6
确定约束x2?2所限定的区域。先画出直线x2?2,容易判断其下方的点满足约束x2?2,考虑到x1,x2?0,2x1?x2?10及x1?x2?1,则区域FCDBE为所确定区域。如图3-7所示。
图3-7
因为区域FCDBE所包含的点满足所有的约束条件,所以它就是决策变量的可行域。
(3)画出目标函数等值线,确定优化方向。
目标函数为Z?2x1?x2,可改写为x2??2x1?Z,其中Z是待定的值,如果
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