?AB?CD，
又QAB//CD，
?四边形ABCD是平行四边形．
?3?如图所示，四边形ABCD满足CD?AB，?D??B，但四边形ABCD不是平行四边形．
25．（2019·山东初三）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________． （2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析 【解析】
解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，
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∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD且MG=12CD， 同理：NG∥BE且NG=12BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.
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同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG． ∴△GMN是等腰直角三角形.
26．（2019·辽宁初二月考）如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】(1)（43，4）；(2)见解析;(3)1. 【解析】
在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8， ∴AB＝
11OB＝×8＝4， 22 27 / 28
OA2＝OB2-AB2 ∴OA=
OB2-AB2=82-42=43
∴点B的坐标为（43，4）； （2）证明：∵∠OAB＝90°， ∴AB⊥x轴， ∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE， ∵∠AOB＝30°， ∴∠OBA＝60°， ∵DB＝DO＝4 ∴DB＝AB＝4
∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°， ∴∠ADB＝60°， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∴∠ADB＝∠OBC， 即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形； （3）设OG的长为x， ∵OC＝OB＝8， ∴CG＝8﹣x，
由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x，在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2， 即（8﹣x）2＝x2+（43）2， 解得：x＝1， 即OG＝1．
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