(理) (1)证明：因为u2+v2≥2uv，所以2(u2+v2)≥(u+v)2，
即有：u+v≥
2
2
(u?v)222????????????????????????2分
(2) 因为 u+v≥
22
(u?v)2
2所以x+y+z≥
222
(a1?a2)212+
(b1?b2)22+
(c1?c2)22–a1a2–b1b2–c1c2
=
[ a12+a22+b12+b22+c12+c22] ???????????????3分
21(a?c2)≥[122?(a2?b1)22?(b2?c1)22]=
3414，??????4分
因为x2+y2+z2≥
1234，所以x2、y2、z2中至少有一个不小于
，即在x、y、z中至少有一个不小于
。?????????????????????????????6分
(3)解：命题1：如图1，已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于
22。
别设为a1、a2、z，
证明：线段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ分b1、b2、c1、c2、d1、d2，设MN、NP、PQ、QM为w、x、y、
因为a1+d2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1， 所以(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)=4
这四组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a2≥1，a1，
因为z2= a12+a22≥a12+(1– a1)2=2a12–2a1+1=2(a1–
22A a2
M b1 B
a1 z w
Q d2 D y x
d1 P c2 C
那么a2≥1–
12)2+
1222b2 N c1
图1
≥
12
所以z≥，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。
命题：3分；证明：3分
命题2：如图2，已知六边形A1B1C1D1E1F1内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于
32。
a2 B
b2
A a1
F1
f2 F
f1
FF1为a1、a2、
证明：分别设线段AF1、AA1、BA1、BB1、?、FE1、b1、b2、?、f1、f2，如图所示。
因为a1+f2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，d2+e1=1，所以(a1+a2)+(b1+b2)+?+(f1+f2)=6，
b1 A1 E1 e2
E
D1 e1
C1 d1
图2
d2 D
B1
c1
C c2
e2+f1=1，
这六组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a2≥1，那么a2≥1– a1， 因为A1F12=AA12+AF12–2AA1. AF1cos120o=a12+a22+a1a2
≥a12+(1– a1)2+a1(1– a1)=a12–a1+1=(a1–
122)+
334≥
4，
所以A32C31F1≥，即六边形A1B11D1E1F1中，至少有一边的长不小于
2。
命题：5分；证明：5分
命题3：如图3，已知n边形A////1A2A3??An内接于A1 a/1 an An
的正n边形A1A2?An，(n≥4)。求证：n边形A///1A2A3??a//1 An an a2 少有一边的长不小于cos
?≥3)。
AA/A/1
n?1 n(其中n2
An–1
a/2 证明：分别设线段AA/2
1 A/、A1A/、A2A/n1、A2A/12、?、
a/3 A3 Aa/nA/为a1、a/、a2、a/、?、an、a/，
A3 D3
n12n图3 因为a1+a/+a//n= a2+a/1=a32=?=an+an?1=1，
所以(a1+a//1)+(a2+a2)+?+(an+a/n)=n。
这n组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a//1≥1，那么a1≥1– a1， 于是在ΔA1A//1An中有：
A//2 ///1An= A1A2 1+ A1A2n–2 A1A1.A1A/(n?2)?ncos
n
= a/a/(n?2)?2 a(n?2)?12+a21–2a11cos
n≥a12+(1– a1)2–1 (1– a1) cos
n
=2[cos(n?2)?+1] a(n?2)?n12–2[cosn+1] a1+1
=2[cos(n?2)?+1]( a1(n?2)?n1–
12)2+
2[1–cosn]
≥
1(n?2)?(n?2)??2[1–cosn]=sin2
2n= cos2
n。
故A//?///??A/?1An≥cosn，即n边形A1A2A3n中，至少有一边的长不小于cos
n。
命题：7分；证明：7分
(文) 解：(1) 因为f(x)= x2+x，所以x2+x<0；即–1 令u= –f(x)= –x2–x，则u=–(x+ 12)2+ 114≤ 4，????????????????3分 边长为1A/n中，至 AnA /n?1、 当0 14时， 1u1u≥4，即g(x)≥4????????????????????4分 当u<0时，<0，即g(x)<0???????????????????????5分 所以g(x)<0或g(x)≥4，即g(x)既无最大值，也无最小值。??????????6分 (3)下面分层给分： 命题1：求数列{an}的通项公式。答案1：an= n?n2n?12??????(各1分，共计2分) 2n?1命题2：判断数列{an}的单调性。答案2： an?1anan?1an= (n?1)(n?2)2n? n(n?1)= n?22n， 令 ≥1得：n≤2，即有：a1＝2≤a2＝3=a3＝3≥a4＝ 52≥a5＝ 158≥?≥an≥?， 即数列{an}是先增后减的数列。??????????????(各3分，共计6分) 命题3：求数列{an}的最大值。答案3：(前面解题过程同答案2)，且an的极限是0，故有an的最大值为a2＝a3＝3，??????????????????(各5分，共计10分) 命题4：an对一切正整数n，均有an ≤ C恒成立，求C的最小值。 答案4：因为an= n?n2n?12，若an对一切正整数n，均有Tn ≤ C恒成立， 则需C大于或等于an的最大值， (此部分解题过程同答案3)， 又对一切正整数n，均有an≤C恒成立， 所以C≥3，C的最小值为3?????????????????.?各7分，共计14分
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