故选C. 答案：C
x2y2
12．(2019·西湖区校级月考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)(c>0)，
ab→→→
过点F1作直线与圆x＋y＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若OB＝2OA－OF1，则双曲
4
2
2
a2
线的离心率为( ) A．2 C.7 2
B.D.
10 25 2
x2y2
解析：设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F2(c,0)
ab→→→→→→∵OB＝2OA－OF1，∴2OA＝OB＋OF1， ∴A是BF1的中点，
∵过点F1作直线与圆x＋y＝相切于点A，
4∴OA⊥BF1，∵O是F1F2的中点， ∴OA∥BF2，∴BF1⊥BF2，|BF2|＝a， ∴|BF1|＝|F1F2|－|BF2|＝4c－a， ∵|BF1|＝2a＋|BF2|＝3a， ∴9a＝4c－a，∴10a＝4c， ∴e＝
10， 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2
故选B. 答案：B
13．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第
3620一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心， 焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)＋y＝64上． 因为点M在椭圆＋＝1上，
3620
2
2
x2y2
x2y2
?x＋4?＋y＝64，??2
所以联立方程可得?xy2
＋＝1，??3620
22
?x＝3，
解得?
?y＝±15.
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)
14．(2019·抚顺一模)已知点F是抛物线C：y＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过122
点M向圆(x－1)＋y＝作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．
2解析：如图所示：
2
圆的圆心与抛物线的焦点重合， 若四边形AFBM的面积最小， 则MF最小，即M距离准线最近， 故满足条件时，M与原点重合， 此时MF＝1，BF＝BM＝
2， 2
12211
此时四边形AFBM面积S＝2S△BMF＝2×××＝，故答案为：.
222221
答案：
2
x2y2
15．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，
ab→→→→
过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的离心率为________．
→→
解析：法一：由F1A＝AB，得A为F1B的中点． 又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2. →→
又F1B·F2B＝0，∴∠F1BF2＝90°. ∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B. 又∵∠F1OA＝∠BOF2， ∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形． 3??c如图所示，不妨设B为?，－c?.
2??2∵点B在直线y＝－x上，∴＝3， ∴离心率e＝＝2.
→→
法二：∵F1B·F2B＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|＋|OH|＝|OB|＝c，∴|BH|＝b，|OH|＝a， ∴B(a，－b)，F2(c,0)． →又∵F1A＝AB， ∴A为F1B的中点． ∴OA∥F2B，∴＝
→
|BH||OH|
babacaba2222
bb，
ac－aca∴c＝2a，∴离心率e＝＝2. 答案：2
x2y2
16．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲
ab→→
线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF1·PF2的最小值的取值范围是________．
n2?m2n222?解析：设P(m，n)，则2－2＝1，即m＝a?1＋2?.
ab?b?
又F1(－1,0)，F2(1,0)，
→→
则PF1＝(－1－m，－n)，PF2＝(1－m，－n)，
?n?PF1·PF2＝n＋m－1＝n＋a?1＋2?－1 ?b?
→
→
2
2
2
2
2
?a?22
＝n?1＋2?＋a－1≥a－1，当且仅当n＝0时取等号，
?b?
2
2
→→2
所以PF1·PF2的最小值为a－1. 111由2≤≤4，得≤a≤，
a421532
故－≤a－1≤－，
164
→→3??15
即PF1·PF2的最小值的取值范围是?－，－?.
4??163??15
答案：?－，－?
4??16
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