过三点的圆
【基础知识精讲】
1.基本概念
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 三角形的外接圆的圆心叫三角形的外心.
三个顶点在圆上的三角形叫做这个圆的内接三角形. 2.定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.反证法的基本步骤
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 【重点难点解析】
本节的重点在于通过尺规作图理解不共线三点确立一个圆，掌握三角形的外接圆，外心以及圆内接三角形等概念，难点是运用反证法解题.
例1 已知AB，用圆规直尺找到AB的圆心 解：①在AB上任取不同的三点C、D、E
②顺次连结C、D、E得△CDE
③作△CDE的二边CD与DE的垂直平分线相交于点O，则点O即为AB的圆心.
说明：此例中AB的圆心即为△CDE的外心，而三角形的外心是其三边中垂线的交点，从而问题得以解决.
例2 已知直角三角形的两条直角边分别是6 cm和8cm，求其外接圆半径
解：∵其斜边长为：62?82=10cm ∴其外接圆半径为：
⌒⌒⌒⌒⌒1×10=5cm 2说明：此题主要搞清直角三角形的外心就是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半. 例3 求证：三角形中至少有一个角不大于60° 证明：假设△ABC的三个角均大于60° 则∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180° 这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾 ∴命题成立 说明：运用反证法证题主要是在假设的基础上推出与已知或定理相矛盾的结论.本例就是推出一个与三角形内角和定理矛盾的结论.
例4 求证：六条边都等于1的凸六边形至少有一条对角线的长不大于3.
证明：假设存在一个边长为1的凸六边形ABCDEF，其每一条对角线之长均大于3，如图7-7，作BM⊥AC，∵AB=BC=1，AC＞3
∴sin∠ABM=
AMAC3?＞ AB22∴∠ABM＞60°,则 ∠ABC＞120°
那此六边形的内角之和大于120°×6=720° 这与六边形的内角和等于720°矛盾 ∴命题成立
说明：命题的结论包含的情形较多，直接证明有些困难，而其反面“每条对角线之长大于3”却只有一种情形，因此考虑用反证法. 【难题巧解点拨】
例1 已知平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.求证平面上任何一点都不会同时在此六个圆的内部.
证明：已知六个圆⊙A1、⊙A2、⊙A3、⊙A4、⊙A5、⊙A6，其中每个圆的圆心都在其余各圆的外部，假设存在一点M，同时在此六个圆的内部.
依题意，MA1小于⊙A1的半径，A1A2大于⊙A1的半径，∴A1A2＞MA1，同样有：A1A2＞A2M，考虑△MA1A2知：其最大内角为∠A1MA2，∴∠A1MA2＞60°
同理可证：∠A2MA3，∠A3MA4，∠A4MA5，∠A5MA6，∠A6MA1均大于60°，则这六个角之和大于360°，由图7-8知这六角之和应等于360°，矛盾，所以原命题成立.
说明：本例采用反证法、将问题转为三角形的内角，推出矛盾.
例2 设a、b、c是满足a?b?c?3的正数，试证方程组 2y?a?z?a=1 ①
z?b?x?b=1 ② 有唯一实数解
x?c?y?c=1 ③
证明：∵等边三角形内任一点到三边的距离之和等于一边上的高，∴由此作一边长为1的正△ABC，在△ABC内必存在一点P，它到三边的距离依次为a、b、c，如图7-9，取x1=PA,y1=PB,z1=PC,则(x1，
2
2
2
y1，z1)即为方程组的解.
再由反证法证明唯一性，如(x2，y2，z2)也是原方程组的解，它与(x1，y1，z1)中至少有一个相对应的数不等，不妨x2≠x1，若 x2＞x1,则x2?c＞x1?c，由方程③知：
y2?c＜y1?c.于是y2＜y1，
由方程③知z2＞z1,再由方程②知x2＜x1,这与x2＞x1矛盾.同理若x2＜x1，也会导致矛盾，故x1=x2,同理y1=y2,z1=z2,所以原方程组只有唯一的实数解. 【课本难题解答】
作一个圆，使它们过已知点A和B、并且圆心在已知直线l上. (1)当直线l和AB斜交时，可作几个？
(2)当直线l和AB垂直但不经过AB的中点时可作几个？ (3)当直线l是线段AB的垂直平分线时，怎样呢？
分析：所求的圆的圆心既在直线l上，又在线段AB的垂直平分线上.因此 (1)可作一个圆；(2)不能作圆；(3)可作无数个圆. 【知识探究学习】
反证法是数学证明的一个重要方法，巧妙地运用反证法解题可使一些说不清楚的问题变得简单明了.例如本节中的例3，如果要直接说明此命题，有一种无从下手的感觉，但用反证法证明则很简单，又如要证明“2是无理数”.若从正面证是没有办法的.但采用反证法就好说明了.不过反证法不是万能的，要学会对不同的命题选用不同的方法. 【典型热点考题】
例1 已知△ABC的内切圆为⊙O，与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的( )(2000年四川省中考题)
A.三点中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三高的交点 D.三边中垂线的交点
分析：显然圆O与△ABC相切于D、E、F三点，因此⊙O是△DEF的内切圆，从而选B. 例2 求证：两条直线相交只有一个交点 证明：假设两条相交直线有不只一个交点.若A、B为其两个不同的交点，则经过A、B两点有两条直线，这与经过两点有且仅有一条直线矛盾，故两条直线相交有且只有一个交点. 【同步达纲练习】 一、填空题
(1)一个圆的圆心决定这个圆的 ，这个圆的半径决定这个圆的 .
(2)不在一直线上的三点可以确定一个圆，确定的意思是 .
(3)锐角三角形的外心的位置在 ，直角三角形的外心的位置在 ，钝角三角形外心的位置 .
(4)经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，每个圆有 个内接三角形. (5)三角形的外心是 的交点. (6)反证法的三个步骤是 . 二、选择题
(1)下面几个三角形(a、b、c表示△ABC的三边的长)中，外心不在三角形的一边上的是( )
A.a=1,b=3,c=2 B.a=5,b=12,c=13
C.a=
65,b=
D.a=7,b=8,c=9
(2)经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，则经过矩形ABCD的四个顶点( )
A.最多可作一个圆 B.最多可作两个圆 C.最多可作三个圆 D.作四个圆
(3)直角三角形的两条直角边分别是12cm、5cm，这个三角形外接圆的半径是( )
A.5cm B.12cm C.13cm (4)已知等腰梯形ABCD，则( )
A.它的外接圆只有一个 B.它无外接圆 C.它的外接圆不止一个 D.不对
三、解答题
(1)求证：平行于同一直线的两条直线平行.
(2)求证：三角形的三条角平分线相交于一点.
85,c=2
最多可D.6.5cm 以上都 一、(1)位置、大小 (2)有且只有略
二、D A D A 三、(略)
参考答案
三角形内；斜边中点，三角形外 (4)外接圆，无数个 (5)三边中垂线的交点 (6) (3)
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