湖南师大附中2019届高三月考试卷(五) 数 学(理科)
命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普
审题：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足z·(－1＋3i)＝1＋7i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(A) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】易得z＝2－i，则z对应的点为(2，1)．故选A. 2．设m为给定的一个实常数，命题p：
x∈R，x2－4x＋2m≥0，则“m≥3”是“命题p为
真命题”的(A)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若命题p为真，则对任意x∈R，x2－4x＋2m≥0恒成立，所以Δ＝16－8m≤0，即m≥2. 因为m≥3
m≥2，则“m≥3”是“命题p为真命题”的充分不必要条件．选A.
3．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(B) A．12 B．13 C．14 D．15 【解析】由S5＝5a3＝25
a3＝5，所以公差d＝a3－a2＝2，
所以a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13，故选B.
4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为7
x，方差为，则(B)
2
A．x＝3，s2＝2 B．x＝3，s2＝4 7
C．x＝3，s2＝28 D．x＝6，s2＝
2
【解析】∵这7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均7
数为x，方差为，
2
7×3＋371∴x＝＝3，又由×8×＝4，得s2＝4.故选B.
827
5．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如13＝3(mod 5)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于(C)
A．4 B．8 C．16 D．32
【解析】第一次执行循环体，得i＝2，N＝18，此时18＝0(mod 3)，不满足第一条件； 第二次执行循环体，得i＝4，N＝22，此时22＝1(mod 3)，但22＜25，不满足第二条件； 第三次执行循环体，得i＝8，N＝30，此时30＝0(mod 3)，不满足第一条件；
第四次执行循环体，得i＝16，N＝46，此时46＝1(mod 3)，且46＞25，退出循环．所以输出i的值为16.选C.
6．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是(D)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线CD⊥平面PAC
【解析】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．
过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC. 又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．
若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．故选D. 7．在(x＋3y)(x－2y)5的展开式中，x2y4的系数为(B) A．－320 B．－160 C．160 D．320
5－r
【解析】(x－2y)5的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cr·(－2y)r， 5·x
令5－r＝1，得r＝4；令5－r＝2，得r＝3.
433∴在(x＋3y)(x－2y)5展开式中x2y4的系数为C45×(－2)＋3×C5×(－2)＝－160.故选B.
π
8．若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝，函数
4ωπ
f′(x)的图象的一个对称中心是?，0?，则f(x)的最小正周期是(B)
?4?
ππ
A．π B．2π C. D. 24
?π?2?π?
【解析】由题设，有f??＝±a2＋b2，即(a＋b)＝±a2＋b2，由此得到a＝b，又f′??＝0，
2?4??4ω?
ωπωππωπ??ωπ
所以aω?cos从而tan＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋1，k∈Z，而0<ω<5，?＝0，－sin44444??
?π?
所以ω＝1，于是f(x)＝2asin?x＋?，故f(x)的最小正周期是2π.选B.
?4?
?x≥1，?
9．已知点(x，y)是不等式组?x＋y≤4，表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z＝2x
??ax＋by＋2≥0
a
＋y的最大值为7，最小值为1，则＝(B)
b
A．1 B．－1 C．2 D．－2
??2x＋y＝7，
【解析】由z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，联立方程?得A(3，1)，联立
??x＋y＝4??2x＋y＝1，
得B(1，－1)，由题意知A，B两点在直线ax＋by＋2＝0上，故a＝－1，b＝1.选B. ?
x＝1??
→→10．在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则BD·AC的取值范围是(D)
21521－，1? B.?－，? A.??2??22?215
－，? C.[0，1] D.??22?→→→
【解析】∵D是边AC上的一点(包括端点)，∴设BD＝λBA＋(1－λ)BC(0≤λ≤1)， 13→→
－?＝－， ∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴BA·BC＝3×1×??2?2→→→→→→
∴BD·AC＝[λBA＋(1－λ)BC]·(BC－BA)
5→→→→→→＝λBA·BC－λBA2＋(1－λ)BC2－(1－λ)BC·BA＝－13λ＋，
22155
∵0≤λ≤1，∴－≤－13λ＋≤.
222215→→
－，?.故选D. ∴BD·AC的取值范围是??22?x2y2
11．已知椭圆2＋2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF
ab⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈?
A.?
ππ??12，4?，则该椭圆的离心率e的取值范围是(A)
26?231326
B.?，? C.?，? D.?，? ，3?3?3??2?2?23??3
x2y2
【解析】已知椭圆2＋2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设
ab左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．
|AF|＋|AN|＝2a，根据椭圆的定义：由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以2a＝2ccos α＋2csin α，
2c1
利用e＝＝＝2asin α＋cos α
ππ?ππ?π21
，∵α∈?，?，∴≤α＋≤，≤422?124?3?π??π?
2sin?α＋?2sin?α＋?
4?4???
1
≤
626
，即椭圆离心率e的取值范围是?，?，故选A. 33??2
＋
12．设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x1的图象相交于点A，B，若在函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l(C)
A．至少一条 B．至多一条 C．有且只有一条 D．无数条
【解析】设直线l的方程为y＝a(a＞0)，由2x＝a，得x＝log2a，所以点A(log2a，a)． 由2x＋1＝a，得x＝log2a－1，所以点B(log2a－1，a)，从而|AB|＝1.
如图，取AB的中点D，连接CD.因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB， 1313
且|AD|＝，|CD|＝，所以点C?log2a－，a－?.
2222??因为点C在函数y＝2x的图象上，则a－
31a
＝2log2a－＝， 222
3
解得a＝，所以直线l有且只有一条，选C.
2－2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
π1
13．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为__2＋__．
42
【解析】由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1＝2×1×1＝2， π112
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱体的体积V2＝×π×1×1＝，
444
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