第一部分 专题二 第二讲 函数与方程及函数的应用
A组
1
1．(文)函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在区间( B )
xA．(0,1) C．(2,3)
[解析] ∵f(1)·f(2)<0，∴选B．
B．(1,2) D．(3,4)
(理)在用二分法求方程x－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( D )
A．(1.4,2) 3
C．(1，) 2
B．(1.1,4) 3
D．(，2)
2
3
353
[解析] 令f(x)＝x－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f()＝－<0，∴选D．
28
??2－1，x≤1，
2．已知函数f(x)＝?
?1＋log2x，x>1，?
x
则函数f(x)的零点为( D )
1
A．，0 21C． 2
xB．－2,0 D．0
[解析] 当x≤1时，由f(x)＝2－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，1
解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只
2有0.
1x3.已知函数f(x)＝()－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为
2( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
1x[解析] 作出g(x)＝()与h(x)＝cosx的图象，可以看出其在[0,2π]上的交点个数为3.
2故选C．
4．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( A )
1
2
A．10个 C．8个
B．9个 D．1个
[解析] 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A．
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 [解析] 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
?2－|x|，x≤2，?6．已知函数f(x)＝?2
?，x>2，?x－
函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)
的零点的个数为( A )
A．2 C．4
2
B．3 D．5
2
[解析] 当x<0时，f(2－x)＝x，此时函数f(x)－g(x)＝－1－|x|＋x的小于零的零点为
x＝－1＋5
；当0≤x≤2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝x，函数f(x)－g(x)＝2－|x|＋x－3＝－12
2
2
无零点；当x>2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝4－x，函数f(x)－g(x)＝(x－2)＋4－x－3＝x－5x＋5大于2的零点有一个．因此函数y＝f(x)－g(x)共有零点2个．
2
1x7．已知函数f(x)＝()－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0
5“>”、“<”、“≥”、“≤”)．
1x[解析] 方法一：∵f(x)＝()－log3x在(0，＋∞)上为减函数，
50
方法二：如图知，f(x1)>f(x0)．
11
8．(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(＋x)＝f(－x)，并且
223程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为. 211
[解析] 函数图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是，另外2213
两个关于直线x＝对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为.
22
(理)(2015·四川卷，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e
kx＋b且
方
(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是
192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．
?e＝192，?
[解析] 由题意得?22k＋b?＝48，?e
b
48111k122k∴e＝＝，e＝，
19242∴x＝33时，y＝e
33k＋b111k3b＝(e)·e＝×192＝24.
8
9．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放在浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，
24??8－x－1，0≤x≤4，f(x)＝?1
7－??2x，4 其中 若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每 次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用． (1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值． (2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟 3 时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由． 24 [解析] (1)由题意知k(－1)＝3， 8－2所以k＝1. (2)因为k＝4， 96??－4，0≤x≤4，8－x所以y＝???28－2x，4 96 当0≤x≤4时，由－4≥4， 8－x解得－4≤x<8，所以0≤x≤4. 当4 综上可知，当y≥4时，0≤x≤12， 所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟． 1 (3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×(7－×12)＋1×[ 28－升)，又5>4， 所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用． B组 1．已知函数f(x)＝e＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( A ) A．a aax24 － －1]＝5(克/ B．c [解析] 由f(a)＝e＋a＝0，得a＝－e<0；b是函数y＝lnx和y＝－x图象交点的横坐标，画图(图略)可知0 2．(2018·湖北武昌1月调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1,1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( A ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－3,1) B．(－∞，－3) D．(1，＋∞) [解析] 函数f(x)＝2ax－a＋3，由?x0∈(－1,1)，f(x0)＝0，可得(－3a＋3)(a＋3)<0，解得a∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 3．利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( B ) 10 A．240 x2 B．200 C．180 D．160 4
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