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???S2－S4＝S3－S2，?－a1q－a1q＝a1q，?即? 2?a2＋a3＋a4＝－18.???a1q?1＋q＋q?＝－18，
??a1＝3，解得?
?q＝－2.?
故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n1.
－
3[1－?－2?n](2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
1－?－2?假设存在n，使得Sn≥2 013，
则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012. 当n为偶数时，(－2)n>0.上式不成立； 当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． 考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn 解 (1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4， n?9－n?∴an＝5－n，从而Sn＝. 2(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1， 设等比数列{bn}的公比为q， b21则q＝＝， b12 14[1－??m] 21 ∴Tm＝＝8[1－()m]， 121－21 ∵()m随m增加而递减， 2∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8. n?9－n?1 又Sn＝＝－(n2－9n) 221981 ＝－[(n－)2－]， 224 故(Sn)max＝S4＝S5＝10， 若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可． 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝3nan. － (1)求证：数列{bn}是等差数列； a1a2a3an1Sn1 (2)设Sn＝＋＋＋?＋，求满足不等式<<的所有正整数n的值． 345128S2n4n＋2(1)证明 由bn＝3nan得an＝3nbn， － 则an＋1＝3n1bn＋1. ＋ 代入an＋1－3an＝3n中，得3n1bn＋1－3n1bn＝3n， ＋ ＋ 1 即得bn＋1－bn＝. 3 所以数列{bn}是等差数列． (2)解 因为数列{bn}是首项为b1＝31a1＝1， － 1 公差为的等差数列， 3n＋21 则bn＝1＋(n－1)＝， 33则an＝3nbn＝(n＋2)×3n1， － 从而有 an－ ＝3n1， n＋2 a1a2a3an故Sn＝＋＋＋?＋ 345n＋2＝1＋3＋3＋?＋3 2 n－1 1－3n3n－1 ＝＝， 21－3 n Sn3－11 则＝2n＝n， S2n3－13＋1 由 1Sn1111<<，得 即3<3n<127，得1 1Sn1 故满足不等式<<的所有正整数n的值为2,3,4. 128S2n4 1． 在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他 两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算． 2． 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既 快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3． 等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d>0?{an}为递增数列，Sn有最小值． d<0?{an}为递减数列，Sn有最大值． d＝0?{an}为常数列． (2)等比数列的单调性 ?????a1>0，?a1<0，?a1>0，?a1<0，当?或?时，{an}为递增数列，当?或?时，{an}为递减数?q>1??0 列． 4． 常用结论 Sn(1)若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数 n列，其中m，k为常数． (2)若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a2n}，1 {}等也是等比数列． an (3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a3－a2?a2－a1?q a1，a3－a2，a4－a3，?成等比数列，且公比为＝＝q. a2－a1a2－a1 (4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，?成等比数列，其公差为qk. 等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，?成等差数列，公差为k2d. 5． 易错提醒 ??S1，n＝1， (1)应用关系式an＝?时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出 ?Sn－Sn－1，n≥2? 结果后，看看这两种情况能否整合在一起． a＋c (2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列的 2 必要条件是b2＝ac. a8＋a91 1． 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________. 2a6＋a7 答案 3＋22 解析 记等比数列{an}的公比为q，其中q>0， 由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q. 因为a1≠0，所以有q2－2q－1＝0， 由此解得q＝1±2， 又q>0，所以q＝1＋2. a8＋a9q2?a6＋a7?2 所以＝＝q＝(1＋2)2＝3＋22. a6＋a7a6＋a7 14 2． 已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋的 mn 最小值为________． 3答案 2 解析 因为a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． m又aman＝a21q ＋n－2＝4a1， 所以m＋n＝6. 14114? ＋(m＋n) 则＋＝?mn6?mn?n4m11 1＋＋＋4?≥?5＋2＝?mn?6?6? n4m?3 ·＝. mn?2 n4m 当且仅当＝，即n＝2m时，等号成立． mn此时m＝2，n＝4. 3． 已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满 足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an与bn； an (2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围． 3 ??q＋3＋a2＝12， 解 (1)由已知可得? 2 ?3＋a2＝q，?
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