太原市初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用

第一章涅劳斯定理及应用

【基础知识】

梅涅劳斯定理 设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若A?，B?，

BA?CB?AC?C?三点共线，则 ① ???1．

A?BB?AC?BAB′C′C′B′ABCA′D图1-1BCDA'

证明 如图1-1，过A作直线AD∥C?A?交BC的延长线于D，则 CB?CA?AC?DA?，，故 ??B?AA?DC?BA?BBA?CB?AC?BA?CA?DA???????1． A?CB?AC?BA?CA?DA?B注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．

正弦定理证法 设∠BC?A???，∠CB?A???，∠B?A?B??，在△BA?C?中，有

BA?sin??，同理，C?Bsin?CB?sin?AC?sin??，，此三式相乘即证． ?CA?sin?AB?sin?BA?S△A?C?BCB?S△CB?C?S△CA?B?S△CB?C??S△CA?B?S△C?CA?AC?S△AC?A???????面积证法 由，，，此三A?CS△A?C?CB?AS△B?AC?S△A?AB?S△B?AC??S△A?ABS△AC?A?C?BS△C?BA?式相乘即证．

梅涅劳斯定理的逆定理 设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若 BA?CB?AC? ② ???1，

A?CB?AC?B则A?，B?，C?三点共线．

BA?CB?AC1???1． 证明 设直线A?B?交AB于C1，则由梅涅劳斯定理，得到

A?CB?AC1A由题设，有

AC1AC?BA?CB?AC??． ???1，即有

C1BC?BA?CB?AC?BAC1AC?，故有AC1?AC?，从而C1与C?重合，即A?，B?，C?三点共线． ?ABAB有时，也把上述两个定理合写为：设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?，B?，C?三点共线的充要条件是 BA?CB?AC????1． ???ACBACB上述①与②式是针对△ABC而言的，如图1-1（整个图中有4个三角形），对于△C?BA?、△B?CA?、△AC?B?也有下述形式的充要条件： 又由合比定理，知

C?ABCA?B?B?ACBA?C?ABC?A?B?C ③ ???1；???1；???1．

ABCA?B?C?ACBA?C?B?BC?A?B?CA第一角元形式的梅涅劳斯定理 设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?，B?，C?共线的充分必要条件是 sin∠BAA?sin∠ACC?sin∠CBB? ④ ???1．

sin∠A?ACsin∠C?CBsin∠B?BAAC'B'BC图1-2A′

证明 如图1-2，可得

BA?S△ABA??A?CS△AA?C?1AB?AA??sin∠BAA?2 ?1AA??AC?sin∠A?AC2AB?sin∠BAA?．

AC?sin∠A?ACCB?BC?sin∠CBB?AC?AC?sin∠ACC???，． B?AAB?sin∠B?BAC?BBC?sin∠C?CB同理，

以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．

第二角元形式的梅涅劳斯定理 设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，点O不在△ABC三边所在直线上，则A?，B?，C?三点共线的充要条件是 sin∠BOA?sin∠COB?sin∠AOC? ⑤ ???1．

???sin∠AOCsin∠BOAsin∠COBAC'OB'B图1-3CA′

证明 如图1-3，由

S△BOA?BA??，有 S△A?OCA?Csin∠BOA?OCBA?． ????sin∠AOCOBACsin∠COB?OACB?sin∠AOC?OBAC?同理，，． ????sin∠B?OAOCB?Asin∠C?OBOAC?Bsin∠BOA?sin∠COB?sin∠AOC?BA?CB?AC?． ?????sin∠A?OCsin∠B?OAsin∠C?OBA?CB?AC?BBA?CB?AC?故由梅涅劳斯定理知A?，B?，C?共线????1．

???ACBACB从而定理获证．

注 （1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论．

（2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为-1，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上． 【典型例题与基本方法】

1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键

例1 如图1-4，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3∶4∶1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM∶AC?CN∶CD，并且B，M，N共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点． （1983年全国高中联赛题） 于是

DNAEMB图1-4C

证明 设

AMCN，AC交BD于E． ??r（0?r?1）

ACCDS△ABD∶S△BCD∶S△ABC?3∶∶41，

?

BE1AE3?，?． BD7AC7AMAE3-r-EMAM-AE7?7r-3． ??ACAC?AMMCAC-AM1-r7-7r1-AC又因B，M，N三点共线，可视BMN为△CDE的截线，故由梅涅劳斯定理，得

CNDBEMr77r-3???1，即???1． NDBEMC1-r17-7r化简整理，得 6r2-r-1?0，

11解得r?，r?-（舍去）．

23故M与N分别是AC和CD的中点． 例2 如图1-5，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC?∠EAC．（1999年全国高中联赛题）