高中数学专题练习：函数与方程思想

高中数学专题练习：函数与方程思想

[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

常考题型精析

题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题

e2

例1 已知函数f(x)＝－x＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋x (x>0)，其中e表示自然对数

2

的底数.

(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；

(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数

零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题.

?x2＋2，x∈[0，1?，

变式训练1 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝?且2

2－x，x∈[－1，0?，?f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝( ) A.－5 C.－7

B.－6 D.－8

2x＋5

，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为x＋2

题型二 函数与方程思想在不等式中的应用

13

例2 已知函数f(x)＝ln x－4x＋4x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0,2)，x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为____________. 点评 不等式恒成立问题的处理方法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数. 变式训练2 设f(x)＝ln x＋x－1. 3

证明：(1)当x>1时，f(x)<2(x－1)； (2)当1

9?x－1?

. x＋5

题型三 函数与方程思想在数列中的应用

例3 已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等111

比数列，设bn＝＋＋…＋S(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意

Sn＋1Sn＋22nn∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.

点评 数列问题函数(方程)化法

数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤： 第一步：分析数列式子的结构特征.

第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.

第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.

第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.