2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷（3）
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 若0
??
A. ??最大，??2最小 B. ??最大，??最小 C. ??2最大，√??最小 D. ??最大，??2最小 2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是（ ） A. B. C. D. 255583. 方程(??2+???1)??+3＝1的所有整数解的个数是（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 顶点为??(6,?6)，??(?4,?3)，??(?1,??7)，??(9,??4)的正方形在第一象限的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 30 5. 使方程2??2?5????+2??2＝5的一根为整数的整数??的值共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 函数??＝??|??|与??＝??+??的图象恰有两个公共点，则实数??的取值范围是（ ） A. ??>1 B. ?11或??
1
2
1
1
1
11
∠??????的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 65°
8. 二次函数??＝???2+2??+8的图象与??轴交于??，??两点，点??平分????，若在??轴上侧的??点为抛物线上的动点，且∠??????为锐角，则????的取值范围是（ ）
A. 3
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有________块糖．
11. 设?????＝2+√3，?????＝2?√3，则??2+??2+??2???????????????＝________． 12. 已知△??????为钝角三角形，其最大边????上有一点??（点??与点??，??不重合），过点??作直线??，使直线??截△??????所得的三角形与原三角形相似，这样的直线??可作的条数是________．
13. 如图，△________中，∠________的平分线交________于________，若________＝6________，________＝4________，∠________＝60°，则________的长为________．
14. 已知??是整数，一次函数??＝10??+??的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于________． 15. 如图，△________．
16. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是________分钟．
17. 如图，以半圆中的一条弦????（非直径）为对称轴将弧????折叠后与直径????交于点??，若
????
=，且????＝10，则????的长为________． ????3
2
三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 18. 解关于??的不等式：??2+3<4|??|．
19. 如图(1)，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到??△??????=2????sin???① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半 如图，在△??????中，????⊥????于??，∠??????＝??，∠??????＝??
1
∵ ??△??????＝??△??????+??△??????，由公式①得到2??????????sin(??+??)=2??????????sin??+2??????????sin??
即??????????sin(??+??)＝??????????sin??+??????????sin??…②
你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的????、????、????吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75°的值．
111
20. 如图，过△??????内一点??做各边的平行线与各边分别交于??，??，??，??，??，??各点． 求证：????+????+????=2．
????
????
????
21. 已知二次函数??1＝????2+4????+4???1的图象是??．
（1）求??关于点??(1,?0)中心对称的图象??的解析式??2； （2）当2≤??≤5时，??2的最大值为√5，求??的值．
22. 证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．
参考答案
1. A 2.
1
共有25种情
况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为25 3. B
4. 连接OA，过A、D两点的直线方程是=，即y=?3x+16，解得它与x轴的交?4?69?6点E的横坐标是x＝7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=?10x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，∴ S6=12.6，∴ S
△??????+S
△??????
3
???6
???6
10
=2×7.8×6=23.4，S
1
△??????
=2×4.2×
1
△??????＝23.4+12.6＝36，即顶点为
A（6，6），B（﹣4，3），C
（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是36 5. D 6. D 7. C 8. A 9. C 10. 40 11. 15 12. 3或2
13. ??????,??,????,??,????,????,????,????,??,????,12√3????
5
14. 5
15. ??1????1，△??2??1??2是等腰直角三角形，点??1，??2在函数??=(??>0)的图象上，斜边
??????1，??1??2都在??轴上，则点??2的坐标是(4√2,?0) 16. 4 17. 4√5 18. 法一：
4
??≥0??<0
或②{2 ， 原不等式化为①{2
???4??+3<0??+4??+3<0∵ ??2?4??+3＝(???1)(???3)，??2+4??+3＝(??+1)(??+3)， ∴ 解①得，1
∴ 原不等式的解为?3
将??????????sin(??+??)＝??????????sin??+??????????sin??，两边同除以?????????得： sin(??+??)=?????sin??+?????sin??③， 又∵ cos??=????、cos??=????，
代入③可得：sin(??+??)＝sin???cos??+cos???sin??．
②由sin(??+??)＝sin???cos??+cos???sin??得：sin75°＝sin(30°+45°)＝sin30°?cos45°+cos30°?sin45°
1√2√3√2=×+× 2222
=
√2+√6． 4
????
????
????
????
20. 证明：根据题意，?????//?????， ∴ △??????∽△?????? ∴ ????=????； ∵ △??????∽△?????? ∴ ????=????；
∵ ????????是平行四边形， ∴ ????＝????；同理，????＝????； 则????=
????
????+????????
????
????
????
????
，∴ ????+????+????=
????????????????+????+????+????
????
=
2????????
=2．
21. 依题得，??≠0，且??1＝????2+4????+4???1＝??(??+2)2?1， 故图象??的顶点为??(?2,??1)，由对称性可知，图象??的顶点为??(4,?1)，
且其开口方向与??的相反， ∴ ??2＝???(???4)2+1， 即??2＝?????2+8?????16??+1．
当??<0时，抛物线??的开口向上，对称轴为??＝4， 若2≤??≤5，则当??＝2时，??2取得最大值1?4??， 由1?4??=√5得，??=
1?√54
．
22. 证明：如图，在△??????中，设∠??＝2∠??，且三边长分别为??，??，??． 延长????到点??，使????＝????＝??，则????＝??+??，由∠??＝2∠??，知∠??????＝∠??． 从而，△??????∽△??????，故????=????，即??+??=?? 于是，??2＝??(??+??)①
当??>??>??时，设??＝??+1，??＝??，??＝???1，代入①式，解得，??＝5． 此时，??＝6，??＝5，??＝4；
当??>??>??时，设??＝??+1，??＝??，??＝???1，解得，??＝2． 此时，??＝2，??＝1，??＝3，不能构成三角形；
同理，当??>??>??时，可得，??2?3???1＝0，??不是整数，舍去． 综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．
????
????
??
??
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