专题限时集训(八) 平面向量
(建议用时：45分钟)
1．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．
－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
??2m＋n＝9，∴???m－2n＝－8，
??m＝2，
∴???n＝5，
∴m－n＝2－5＝－3.]
2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.
【导学号：19592024】
10 [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c，得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝3＋－1
2
2
＝10.]
→→→
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝________. →→→→
(1,1) [DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]
→→→
4．△ABC中，AB边的高为CD.若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝________.(用a，b表示)
44
a－b [如图，∵a·b＝0，∴a⊥b， 55
∴∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＋BC＝5. 又CD⊥AB，
452
∴AC＝AD·AB，∴AD＝. 544→4→4
∴AD＝AB＝(a－b)＝a－b.]
5555
2π→1→1→→→→→5．已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为________．
324
1
2
2
π1→→1→→→→→→→1→ [令OA＝OA1，OB＝OB1，因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|OA1|＝|OB1|，由OC＝OA＋32421→→→πOB＝OA1＋OB1，得四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对的角，因此∠AOC＝.] 43
→
6．如图7－8，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点．F为边AB上的点，且AB＝→→→→
3AF，若AD＝xAF＋yAE，x，y∈R，则x＋y的值为________．
图7－8
5→1→1→→1→1→ [∵D为BC的中点，∴BD＝BC＝(AC－AB)＝AC－AB， 22222→→→∴AD＝AB＋BD
→?1→1→?1→1→1→1→3→→→→＝AB＋?AC－AB?＝AB＋AC＝×3AF＋×2AE＝AF＋AE＝xAF＋yAE，
2?22222?23
∴x＝，y＝1，
235
∴x＋y＝＋1＝.]
22
→→→1→→→
7．如图7－9，在等腰三角形△ABC中，底边BC＝2，AD＝DC，AE＝EB，若BD·AC＝－
21→→
，则CE·AB＝______. 2
图7－9
4
－ [如图建立直角坐标系，设A(0，h)(h＞0)， 3
→1→→→?12h??1h?则B(－1,0)，C(1,0)，由AE＝EB，AD＝DC，得E＝?－，?，D?，?.
2?33??22?
2
→?3h?→
则BD＝?，?，AC＝(1，－h)，
?22?12→→3h故BD·AC＝－＝－，h＝4，h＝2，
222→?44?→
故CE＝?－，?，AB＝(－1，－2)，
?33?4→→
则CE·AB＝－.]
3
→1→→→→→
8．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在
2→
2
BC方向上的投影等于________．
3→1→→→→ [由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝22→→→
|OC|，又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知→→→→
∠ABC＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝3×cos 30°3＝.] 2
→→→→→→
9．(2016·扬州期中)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，CA＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________．
－5 [∵AB＝1，BC＝2，CA＝5， ∴AB＋BC＝CA， ∴∠ABC＝90°， →→
∴AB·BC＝0，
→→→→→→→→→→→→2
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA(BC＋AB)＝CA·AC＝－AC＝－5.]
10．(2016·南京三模)如图7－10，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，
2
2
2
→
AM＝2MD.若AC·BM＝－3，则AB·AD＝________.
→→→→→
图7－10
3→→
[∵AC·BM＝－3， 2
→→→→
∴(AD＋DC)(AM－AB)＝－3，
3
?→1→??2→→?∴?AD＋AB??AD－AB?＝－3，
2??3??
2→2→→1→→1→2
∴|AD|－AD·AB＋AB·AD－|AB|＝－3， 33222→→12
∴×9－AB·AD－×4＝－3， 3322→→→→3∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝.]
32
11．(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．
?23?→→?0，? [如图，设AB＝α，AC＝β，
3??
→
则BC＝β－α，
又α与β－α的夹角为120°， ∴∠ABC＝60°. →
又|AC|＝|β|＝1， 由正弦定理得 |α||β|
＝， sin Csin 60°
2323
∴|α|＝sin C≤，
33
?23?
∴|α|∈?0，?.]
3??
→
12．(2016·南京盐城二模)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且BD＝27→
2DC，AD＝，则AC的长为________．
3
【导学号：19592025】
→→
3 [如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，点D在BC上，BD＝2DC，
4
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