求阴影部分面积的十二种方法 

2001年第12期中学数学求明影部分面积前十二种方法100051北京市181信箱国松面积问题是中学数学的重要内容之一，每年全国各省市中考数学试题中，都有求阴影部分面积的试题.因此，重视和加强阴影部分面积的解法技巧的教学是十分必要的.为了帮助同学们学习，本文小结了计算阴影部分面积的几种常用方法.1直接法运用规则图形(如圆、扇形、弓形、正方形、矩形、菱形、平行四边形、三角形、梯形等)的面积计算公式计算出阴影部分的面积，这种计算面积的方法叫做直接法.这是求图形面积的基本方法，其他图形的面积问题常转化成规则图形来解决.例1如图1，已知△ABC内接于00,且AB=BC=CA=6cm，求图中阴影部分的面积(结果保留7(和根号).(1999年海南省中考题)分析过点O作OD土BC于D，由BC二6cm，不难求得乙OBC=300,OB=2/-3cm，ZBOC=1200??睿，SMV=SlfVOBC120n=47r(cm2).颧??(2、/了)“360功图I图22求和法若阴影部分的面积不能直接求得，可将其分成几个规则的图形，分别计算出它们的面积，然后求出这些面积的和，即得所求阴影部分的面积.这种求面积的方法叫做求和法.例2如图2，水平放着的圆柱形的排水管的截面为00，其半径为40cm.AmB为截面上有水的弓形，已知乙AOB=900，求弓形AOB的面积(二取3.14).(1996年甘肃省中考题)解S扇)OOA.B二二二一2707r??402二二二36012007c,SAAOB-11-一2??OA??OB二-2又402=800，S弓形ArrtB=S扇形。，，。。+SoAOB=12007c+800=1200X3.14+800=4568(cm2).3求差法若不能直接计算出阴影部分的面积，可将含阴影部分的整个图形(规则图形)的面积减去这个图形中非阴影部分(规则图形)的面积，便得阴影部分的面积.这种求面积的方法叫做求差法.例3如图3，有一直径是lm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是形ABC，求被剪掉阴影部分的面积(结果可用900的扇二表示).(1999年辽宁省中考题)解连结BC,-.艺BAC=900,_pi、、，仟。ALS，。今月七，。=一汽厂2乙n，S阴影二Sp。一S扇形，BC图3图44等积法若图形的面积不易直接计算，可将其转化为与它面积相等且易于计算面积的图形，这种转化的方法叫做等积变形法，简称等积法.例4如图4，已知半圆的直径BC=10,弦AD//BC,匕ACD=400，则图中阴影部分的面积等于(1995年呼和浩特市中考题)解连结OA,OD，由AD//BC知△OAD与△CAD等积.又匕AOD=2艺ACD=800，中学数学SMV=SMT,OAD807r??523602001年第12期5重委法若阴影部分由几个图形重叠而成，其面积等于这几个图形面积的和再减去重叠部分的面积，这种求面积的方法称之为重叠法.例5如图5，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成图形(阴式表示，不易判断其结果的正误时，可用特殊数值代替某些字母，从而使结果得到简化，易于判断，这种方法叫做特值法.例7如图7，在半圆的直径AB上取一点C，分别以AC,CB为直径在图形内作半圆，过点C作CD土AB交圆于D,CD的长为h,则阴影部分的面积为().(1996年桂林市竞赛题)(A)c7h2影部分)的面积等于().(1993年南京市中考题)(A)27c一4(B)4一7C(C)27r一2解阴影部分可看成是四个同样的半圆(D)4一晋重叠而成，它的面积等于这四个半圆面积的和再减去正方形ABCD的面积.即S阴影=4X告TC普)2一2227t一4.故应选(A).6拼赛法对比较分散而不易直接计算面积的图形，只要把它们拼凑在一起即可求出阴影部分面积的方法叫做拼凑法(或拼接法).例6如图6,OA,OB.OC两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为().(2001年江西省中考题)(A)鑫cm2(B)晋cm2ku)/户、兀万CLI1-2(D)番cm2解显然，图6中三个扇形的圆心角恰是三角形的三个内角，其和为1800.因此，把三个扇形拼接在一起就是一个半圆，即三个阴影部分的面积之和等于半圆的面积.于是S阴影今音“，-.(0.5)2晋(cm2)故应选(B).特值法当阴影部分的面积是用含有字母的代告(B)告c7h2分析(C)音TCh2题中供选择的(D)青?Ch2四个答案，都是用含字母的代数式表示的，不能判断其正误，于是考虑特殊值法.令直径AB=4且C与半圆圆心O重合，则S一。二。，二=-21r7一‘’一X2`、_，一-21(7X1`‘’一、_，一-21r7X1`=7C,因C与0重合，所以h=2,当，。1一h=2--一’时，只有令“”“4r7h`=7r,故应选(B).8移位法若直接计算图形的面积比较困难，但只要变换一下图形的位置，把图形从一般位置移到特殊位置上，即可求得阴影部分的面积，这种方法叫做移位法.例8如图8，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_(2000.年广西中考题)。At产B。图8分析为了便于计算，可将小半圆移动，使其圆心与大半圆圆心重合(如图9)，此时阴影部分的面积与原阴影部分的面积相等，则MB=2.S，影一合二(OBZ一。M2)=粤艺MB，一27r.9翻转法将图形以某条直线为轴翻转1800，便于考查图形的特点和图形间的关系，这种法叫做翻转法.2001年第12期中学数学例11已知正方形的边长为1，分别以A,B,C,D四点为圆心，1为半径画弧，则所得例9如图10，圆的半径为R，分别以圆周上三个三等分点为圆心，以R为半径在圆内作弧，则阴影部分的面积是_(1995年安徽省中考题)，四个扇形的公共部分的面积是(.)(1990年浙江省竞赛题)1r7B+--34(A)1一I/万了矛、、少(C)晋一‘(D)2一汀一晋图10图11解将圆O与圆上三个三等分点分别连结，再将圆内三条弧翻转与圆重合(如图n)，那么，阴影部分的面积等于圆面积减去圆内接正六边形的面积.则S阴影=S，一S正六边形S，一6S正三角形=71,-一匕.下二1RZ乙。sin600二(兀竺~~.~./I兰-万止立)R210旋转法将图形绕其某顶点旋转相应的角度后，便于考查图形的特点和图形间的关系，这种方法叫做旋转法.例10如图12，正方形的边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是().(2000年贵阳市中考题)(A)4一27c($)2n一4(c)7T一2(D)2(4一7()BtD)AWCAL”霸‘‘一-种-一一-JB图12图13分析连结AC，直接计算虽可求出弓形AC的面积，但这样计算比较麻烦.观察图形，发现图中两段弧的度数和为1800，若将扇形DAC绕着点C逆时针方向旋转900(如图13),此时不难得到一1Smv_S半圆一SDAA'C一217T.乙_-。一二二1、，、_乙.入斗入乙=2二一4，故应选(B).方程组法将整个图形中不同形状的图形按大小分类，并设其对应的面积为未知，从而根条件建立程组，通过解此程组求得阴影部分面积的法，叫做程组法，解由对称性，用x,y,z分别表示曲边形的面积1(如图14)，则|1|x十3y+2z=7.4’夕1y十2z=1一万|x+2y+z-粤1/3b+粤一匕4解之，得x=1一了了+兀-6故应选(A).图14图1512三角法运用三角函数的知识求得阴影部分面积的方法，叫做三角法.例12如图15，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为().(2000年黄冈市中考题)(A)--1sin之一a(B)1cosa(C)sina(D)1解如图15,由条件易知四边形ABCD是菱形，且匕ABC=a,过点A作AH土BC交BC于H,在Rt△ABH中，‘:AH=1，AB二BC=二sinSmV=BC??AH1sina故应选(A).以上介绍了求阴影部分面积的12种方法，关键是要掌握其中的要领.这样，在解题时才能真正做到融会贯通，灵活运用.(收稿日期:20010910)