其中， ?r?1??e 为相对介电常数，?为介电常数。
第四章 边值问题
4.1.1静电场的泊松方程和拉普拉斯方程的导出 对
取散度，并代入
(41)
则有
(42)
取后两项，整理可得
称为“泊松方程
称为拉普拉斯方
若泊松方程中的 程【9】
泊松方程描述存在
则有
的电场区域，如均匀带电体内部的电势分
的电场区域，如带电体外和带
布；拉普拉斯方程则描述不存在
电导体球内的电势分布。 4.1.2 势函数的边值关系
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。静电场与
时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
边界条件有三种类型：
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第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于两种介质的界面而言，场量存在着边值关系，场量对“势”自然也存在着边值关系。电势
一般介质的边值关系为：(1)
的边值关系如下
；(2)
导体与介质界面的边值关系则为：(1)
C（常数），(2)
很明显，导体的边值关系是一般介质边值关系的特殊情况。 (1).推导
取 ，取矩形环路
(43)
(44)
(45)
(46)
13
即有
令
(47)
， 即
(48)
则有
此即表明
(49)
(50)
(2).推导
(51)
(52)
可得
(53)
(3).推导导体与介质界面的边值关系
（常数），
将静电平衡下导体的性质（电荷分布在表面，体内场强处处为零，等势体、等势面，电场沿表面法线方向等等）代入一般介质的边值关系中即可得到上述结果。 4.2.1拉普拉斯方程，分离变量法
泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程，只有带电体的场呈“球、柱”形对称时，三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解【10】。
实际上，静电场往往由带电导体决定（电容、电子透镜等），自由电荷只出现在一些导体表面，表面以外的其它空间里并没有自由电荷。若选导体界面为边界，则其余空间的势微分方程满足拉普拉斯方程，即
1)拉普拉斯方程 的通解
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由分离变量法[1]1，拉普拉斯方程 的通解为
(54)
其中四个待定系数 由边界条件决定；就是
缔合勒让德函数。若 呈旋转轴对称,则 ，通解就变成了: 在这里，
， (55)
是勒让德函数，其中
，
。
；
若 呈球状对称，则 2)唯一性定理
，通解则相应变为
既然求解静电场的问题可以归结为“给定边界条件下求解偏微分方程”的问题，那么人们势必要关心得到的解是否唯一？静电场的唯一性定理可以回答这个问题。 定理：设区域 内给定自由电荷分布 (1).电势 地确定。
(2).电势的法向导数
，在 的边界 上给定 ，则 内的电场唯一
换言之,即在内存在唯一的解,它在每个均匀区域内满足泊
松方程,在两均匀区域的分界面上满足边值关系,并在的边界S上满足给定的
或
。
这里仅采用反证法予以讨论，不注重推证的严密性，而侧重于使用的方法和条件。
假设对应于一定的电荷分布和一定的边界条件存在两个解
，它们都满足相同的泊松方程
和
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，
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