湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案 第三讲 能量和动量

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案

第三讲 能量和动量

知识要点：功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。

一、功和功率 1、功

功的定义式：物体(可看作质点)在恒力的作用下产生了位移，则力F对物体所做的功为：W=FScos? 功有正负之分，正功和负功的物理意义必须从与做功相联系的能量转化角度去理解。

注意：当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移是不相等的，这时公式中的S理解为力的作用点的位移 。

特别是在绳子牵引之类的问题，要注意作用点的位移。

功的定义式中力应为恒力。如F为变力，则可以采用如下方法处理：(1)微元法，即把变力做功转化为恒力做功，如讨论向心力对物体不做功时就用这个方法；(2)图像法，即作出力F与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。一般用在作出的图线是直线的情况下；(3)等效法，即用机械能的增量或者pt等效代换变力的。

有两种类型的做功值得注意：

一是恒力(保守力)做功的特点：只与运动的初末位置有关，与具体过程无关；如重力、匀强电场中的电场力等；

一是耗散力：与具体路径有关，如摩擦力。当摩擦力大小一定时，摩擦力的功为fs。 如果物体的运动轨迹ab是一条曲线，力也是一个变力，则必须将ab分a 成很多无限小的小段，然后求每小段的功之和。这种求和一般要用到积分的知识，但在某△s △h 些情况下也有比较简单的结果，例如，质量为m的物体在重力的作用下从a点运动到b点，如图所示，取任意一个小段△s，它在重力方向上的投影为△h，重力在这一小段位移上做的b 功为mg△h,将所有小段的功加起来，即

W(a→b)=?mg?h=mg??h=mgh(a→b)

aabb可见，重力做功仅仅取决于质点初位置和终止位置，而与其★注意：功的定义式中S怎么取值？ 在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？

运动路线无关。 （质心）位移不我们先看下面

一些事例。

1、如图所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？

2、第二个图中，柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力。求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？ 4、如图所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？

在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。

所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。

面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。

第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；第2例，求拉力的功，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。

但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。

思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？

提示：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）故不能用W = fS。

思考：如图所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？

解：分析同上面的“第3例”。 2、功率

力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为：P=W/t 若将W=Fscos?代入上式得：P=Fvcos?

讨论：若式中v用平均速度，则P为平均功率；若v为瞬时速度，则P为瞬时功率，其中?为F与v的夹角。

【例1】用锤子击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉对钉子做的功相同，已知击第一次时，钉子进入板内1cm，则击第二次时，钉子进入木板的深度为多少？(0.41cm)

解析：

【例2】一支灌溉水枪需均匀喷撒半径为12米的农田，已知从4米深井里每分钟抽出80升水喷出，试求水泵的电机功率。(131W)

解析：

二、动能定理

对于单个质点，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，即 W合＝Ek2-Ek1

若研究对象是物体系，则动能定理可表示为：物体系动能增量，等于作用于物体系的所有引力和内力所做功的代数和。表示为

ΣEk2-ΣEk1=ΣW外+ΣW内

这里特别要注意到对质点系也要考虑内力做功的代数和，如内力是滑动摩擦力，这对滑动摩擦力所做的功总是负功，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。即等于系统损失的机械能。而如内力是静摩擦力，则这对摩擦力所做的功总是等于零。

应用动能定理要注意全过程分析与分阶段分析。

【例3】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节质量为m的车厢中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动的阻力与质量成正比，且关闭油门

ML

前牵引力恒定，求最终拖车和卡车相隔的距离。( )

M-m

【例4】长为2L的线系住两个相同的小钢球，放在光滑的地板上，在m 图所示的水平恒力，求：

(1)钢球第一次相碰时，在与F垂直的方向上钢球对地的速度。 2L F (2)经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞量是多少？(解析：

【例5】一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，相对静止，如图所示，现使半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动，面时，离半球底面的距离h。(0.81R)

解析：

线中央作用如

而失去的总能

FL ,FL) m

m

初始时，它们间求物体离开球

【例6】一固定的斜面，倾角为?=45o，斜面长为L＝2.00m，在斜面下端有一斜面与垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为0，质点沿斜面下滑到斜面最底端与档板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为? =0.20，试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。(1998年第15届预赛试题) (9.86m)

解析：

三、机械能、功能关系 1、势能

由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能叫势能。

势能属于一个系统，系统能够具有势能的条件是，系统内存在一种保守力，该力做功只与系统内部物体的相对位置有关，而与物体位置变化的途径无关，故势能总与一种力对应。如重力对应重力势能，弹力对应弹性势能，分子力对应分子势能，电场力对应电势能等。

2、重力势能

物体由于被举高而具有的能量，叫重力势能。EP=mgh.

EP的大小是相对的，式中h是物体重心离零势面的高度。势能是属于物体和地球所共有。引力势能：MmEP=-G

r

3、弹性势能

1

物体因内部发生弹性形变而具有的势能，叫弹性势能。其表达式为EP=kx2 .

2

4、机械能

系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。是物体由于机械运动而具有的能。它属于一个系统。 5、机械能守恒定律

在只有重力(或弹力)做功的条件下，系统的动能和势能可以互相转换，但总的机械能保持不变。 定律的适用条件是：既没有外力做功又没有耗散内力做功，即只有重力或弹簧的弹力做功。系统可以受别的力，也可以有保守力做功。

6、功能关系

除重力或弹力外别的力(包括外力和耗散力)对系统做的功等于系统机械能的变化量。即对一个物体系而，设外力做的功为W外，内部非保守力做的功为W内非保，那么有

W外+W内非保=?EP+?Ek

功能原理适用于既有外力做功又有内部非保守力做的情况。

【例7】劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块，开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为?，然后加一个水平向右的恒力于木块上。 k F m (1)要保证在任何情况下都能拉动木块，些恒力F不得小于多少？

?mg3?mg

(2)用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？( ≤x≤ )

kk解析：