===∴Tn==∵
， ∈N*），∴即
＜
，
∴n＜5，∵n∈N*
∴n的最大值为4．
解析：（1）当x≥2时an=Sn-Sn-1，化简可得bn-bn-1=1，然后根据等差数列的定义即可证明数列{bn}是等差数列；
（2）将an代入cn中，得cn的通项公式，然后利用裂项相消法可得cn的前n项和Tn，解不等式可得n的范围，进一步得到n的最大值．
本题主要考查等差数列的定义和求数列通项公式和前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．
19.答案：解：（1）由F是AT的中点，可得-a+=2c，
即（a-2c）（a+c）=0，又a、c＞0， 则a=2c，可得e=
；
（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，
由NN1=2MM1，得M是NT的中点，可得
，
又F是AT中点，即有S△ANF=S△TNF，故②设F（c，0），则椭圆方程为
； ，
由①知M是N，T的中点，不妨设M（x0，y0）， 则N（2x0-4c，2y0）， 又M，N都在椭圆上，
即有，即，
两式相减得：可得
，解得，
，
，故直线MN的斜率为k=
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直线MN的方程为y=-（x-4c），即原点O到直线TN的距离为d=依题意故椭圆方程为
，解得c=
．
，
x+6y-4，
c=0，
解析：（1）由题意列关于a，c的方程，求解即可得到椭圆的离心率；
（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，由N到直线l的距离是M到直线l的距离的2倍结合三角形底面积公式计算即可得到所求比值； ②设F（c，0），则椭圆方程为
，运用点差法求得直线MN的斜率和方程，
运用点到直线的距离公式求解c，计算即可得到所求椭圆方程．
本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属于难题．
， 20.答案：解：（1）由f（x）=xlogax（a＞0），得f'（x）=
因为f（x）在点x=e-1处取得极小值-e-1， 所以
，所以a=e，
所以g（x）=（m+1）x-lnx-f（x）=（m+1）x-lnx-xlnx， 所以g'（x）=m-，
，令F′（x）=0，得x=1．
令F（x）=g'（x），则F′（x）=
当x＞1时，F′（x）＜0，F(x)在（1，+∞）单调递减； 当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F(x)在（0，1）单调递增， 故F（x）max=F（1）=m-1．
①当m-1=0，即m=1时，因最大值点唯一，故符合题设； ②当m-1＜0，即m＜1时，F（x）＜0恒成立，不合题设； ③当m-1＞0，即m＞1时，一方面，?em＞1，F（em）=-＜0； 另一方面，?e-m＜1，F（e-m）≤2m-em＜0（易证：ex≥ex）， 于是，F（x）有两零点，不合题设． 综上，m的取值范围为{1}． （2）证明：先证x1+x2＞2． 依题设，有m=+lnx1=+lnx2，于是记=t，t＞1，则lnt=于是x1+x2=x1（t+1）=记函数G（x）=因G′（x）=
，故x1=
．
． =ln．
，x1+x2-2=
-lnx，x＞1．
＞0，故G（x）在（ 1，+∞）单调递增．
于是，t＞1时，G（t）＞G（1）=0．
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又lnt＞0，所以x1+x2＞2． 再证x1+x2＜3em-1-1，
F（x）=0?h（x）=mx-1-xlnx=0，故x1，x2也是h（x）=0的两个零点． 由h′（x）=m-1-lnx=0，得x=em-1（记p=em-1）． 由（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有作函数φ（x）=lnx--lnp，则φ′（x）=
，
≥0，故φ（x）单调递增．
当x＞p时，φ（x）＞φ（p）=0；当0＜x＜p时，φ（x）＜0． 于是，mx1-1=x1lnx1＜
+x1lnp．
整理，得（2+lnp-m）x12-（2p+mp-plnp-1）x1+p＞0， 即x12-（3em-1-1）x1+em-1＞0． 同理x22-（3em-1-1）x2+em-1＜0．
故x22-（3em-1-1）x2+em-1＜x12-（3em-1-1）x1+em-1， 即（x2+x1）（x2-x1）＜（3em-1-1）（x2-x1）， 于是x1+x2＜3em-1-1．
综上，2＜x1+x2＜3em-1-1．
解析：（1）先求出a的值，然后求得单调区间和最大值，通过最大值的符号，讨论m的大小，即可得到m的取值；
（2）先证x1+x2＞2．依题设，有m=+lnx1=+lnx2，整理，构造函数G（x）=
-lnx，
x＞1．通过导数判断单调性，即可得证；再证x1+x2＜3em-1-1，由（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有
，作函数φ（x）=lnx--lnp，通过导数判断单调
性，整理，变形，即可得证．
本题主要考查函数的零点的求法和取值范围，同时考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，运用构造函数判断单调性是解题的关键，属难题．
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