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22．(2019·安徽省定远中学模拟)已知函数f (x)＝(x2－2x＋2)ex－ax2(a∈R)．
2(1)当a＝e时，求函数f (x)的单调区间； (2)证明：当a≤－2时，f (x)≥2.
答案精析
1．B 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8．B 9.ACD 10.BCD 11.ABC
12．BCD [因为函数f (x)＝x2＋aln x，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，故A错误． 22?x＋1??x－1?
当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝. xx当x变化时，f′(x)和f (x)变化情况如下表：
x f′(x) f (x)
由上表可知，函数f (x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f (1)＝1，B，C正确．
2a2
由g(x)＝x2＋aln x＋，得g′(x)＝2x＋－2. xxx
若函数g(x)为[1，＋∞)上的增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立， 2a
即不等式2x－2＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，
xx2
也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．
x2
令φ(x)＝－2x2，
x2
则φ′(x)＝－2－4x.
x
2
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－2－4x<0，
x2
所以φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，
x所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0. 所以a的取值范围为[0，＋∞)，D正确．] 13．0 14.(2＋1，＋∞) 15.1 27
(0,1) － 单调递减 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 单调递增 16．③④⑤
解析 ①函数f (x)＝2a2x－1－1， 1?则f ??2?＝1，故①错误；
②因为当x≥0时，f (x)＝x(x＋1)≥0，且f (1)＝2，所以由函数f (x)是定义在R上的奇函数得f (－1)＝－2＝f (a)，所以a＝－1，故②错误； 11
③若loga>1，可得 22 ④因为f (x)＝f (4－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称，故④正确； ⑤对于函数f (x)＝ln x，f ? ?x1＋x2? ? ?2? x1＋x2ln x1＋ln x2 ＝ln ≥ln x1x2＝ 22 f ?x1?＋f ?x2? ＝，当且仅当x1＝x2时取得等号，其定义域内任意x1≠x2都满足 2 ?x1＋x2?f ?x1?＋f ?x2?f ?，故⑤正确． ?>2?2? 17．解 (1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|， ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， c2－a2－b2∴a·b＝ 2 |c|2－|a|2－|b|249－9－2515＝＝＝. 222又∵a·b＝|a||b|cos θ， 15 ∴＝3×5×cos θ， 21 ∴cos θ＝，即θ＝60°. 2(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0， ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， 1515 ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0， 2285 ∴μ＝－. 12 85 ∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直． 12f ?x? 18．解 (1)依题意得y＝ xx2－4x＋11＝＝x＋－4. xx1因为x>0，所以x＋≥2. x 1 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． x所以y≥－2. f ?x? 所以当x＝1时，y＝的最小值为－2. x (2)因为f (x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f (x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可． ???g?0?≤0，?0－0－1≤0，所以?即? ?g?2?≤0，???4－4a－1≤0， 3解得a≥. 4 3?则a的取值范围为??4，＋∞?. a＋b 19．解 (1)由＝得＝， sin?A＋B?sin A－sin Bsin Csin A－sin B2a＋b3a－c 由正弦定理得＝， ca－b2 变形得a2＋c2－b2＝ac， 3a2＋c2－b21 ∴cos B＝＝. 2ac3 a＋b 2 a－c3 2a－c3 (2)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1得2cos2A＋3cos A－2＝0， 1 解得cos A＝，∵A∈(0，π)， 2π3∴A＝，∴sin A＝， 3222又sin B＝， 3∴sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3＋22 ， 6 ab 由正弦定理得＝，得a＝36， sin Asin B 3＋2211 ∴S△ABC＝absin C＝×36×8×＝62＋83. 22620．解 (1)依题意得，当1≤x≤35时，y＝800. 当35 ??800，1≤x≤35，且x∈N， 所以y＝? ??－10x＋1 150，35 (2)设利润为Q，则Q＝yx－16 000＝ ?800x－16 000，1≤x≤35，且x∈N， ? 2 ?－10x＋1 150x－16 000，35 当1≤x≤35且x∈N时，Qmax＝800×35－16 000＝12 000， 当35 因为x∈N，所以当x＝57或x＝58时，Qmax＝17 060>12 000. 故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17 060元． 21．解 (1)∵(1，－1)在f (x)的图象上， ∴a－(3a＋1)ln 1－3＋a＝－1， 解得a＝1.
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