【考点】解三角形． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）由sin
的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的
值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；
（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的出三角形BDC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为sin2
=1﹣2×
=
=．
①
，所以cos∠ABC=1﹣
，进而求
在△ABC中，设BC=a，AC=3b， 由余弦定理可得：
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
，
．
- 17 -
因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有
，所以3b﹣a=﹣6 ②
22
=
，
，又
由①②可得a=3，b=1，即BC=3． （Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=AB=2，BC=3， 则△ABC的面积为
ABBCsin∠ABC=
×2
，则sin∠ABC=
又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为=．
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题． 22．已知﹣
=（sinωx，cosωx），
=（cosωx，cosωx）其中ω＞0，若函数f（x）=
的图象上相邻两对称轴间得距离为2π
=0在区间内的解； ，求sinx；
（1）求方程f（x）﹣（2）若
=
+
（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的值域．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理． 【专题】综合题；函数思想；整体思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由数量积的坐标表示结合倍角公式、两角和的正弦化简f（x）的解析式，再由已知求得ω，最后求解三角方程得答案； （2）由
=
+
，得
，进一步得
，转化为倍角的余弦求解；
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（3）由已知等式结合正弦定理求得B，由三角形内角和定理得到A的范围，则函数f（A）的值域可求．
【解答】解：（1）
=
，
∵函数f（x）的图象上相邻两对称轴间得距离为2π， ∴，T=
，得
， ∴f（x）=，
由f（x）﹣=0，得
即，
∴
，或
．在区间内的解为（2）若=
+
，则
得，∴cos（x+）=
，
得sinx=
；
（3）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得cosB=，则B=
，
∴A∈（0，
），则
故函数f（A）的值域为（
，
]．
=
，
； ，
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，
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
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