【考点】平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换。
【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。
问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。
问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。 问题4：由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3＝S?ABCD。
12.（徐州12分）如图，已知二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1 ，。 ?2）（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵函数y?x2?bx?c的图象顶点为C（1 ，， ?2）
∴函数关系式可表示为y??x?1??2，即 y?x?2x?1。
2212 （2）设直线PE的函数关系式为y=kx?b。
由题意知四边形ACBD是菱形，故直线PE必经过菱形的中心M。由P（0， －1），M（1， 0）得：
?b??1?k?1 ?，解得?。
k?b?0b??1?? ∴直线PE的函数关系式为y=x?1。
?y=x2?2x?1 联列方程组，得：?解之，得
y=x?1?
（不合题意，舍去），x2= 3。得点E的坐标为（3， 2） x1= 0 。
F，设
APy （3）假设存在这样的点
F?x,x?2x?1? ，过点F作FG?y轴垂足为点G。
2OBx
C ?OMP??OPM?900 , ?FPG??OPM?900 ， ∵在Rt?POM和Rt?FGP中 , ∴∠OMP＝∠FPG。
又∵∠POM＝∠FGP，∴△POM∽△FGP。∴
OMGP＝。 OPGF 又∵OM＝1，OP＝1，∴GP＝GF，即-1-x2?2x?1＝x。 解得x1 = 0 （不合题意，舍去），x2= 1。 ∴点F的坐标为（1，－2）。
以上各步皆可逆，故点F（1，－2）即为所求。
??11S＝S?S＝?2?1??2?2＝3。 ∴?PEF?MFP?MFE22【考点】二次函数的应用，菱形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）把二次函数的顶点坐标代入二次函数y?x2?bx?c的顶点式可直接写出的函数关系式。
（2）要求点E的坐标，就要先求将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形的直线PE。要求直线PE即用已知两点P，M的坐标求得。
（3）根据三角形相似的性质先求出GP＝GF，求出F点的坐标，从而而求得△PEF的面积。
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