中学数学教学中渗透数学建模思想的初探

中学数学教学中渗透数学建模思想的初探

摘 要: 数学建模活动本身是一项创造性的思维活动。在中学数学教学中构建数学建模思想无疑是我们中学数学教学在如何培养中学生素质方面的一个正确的方向。本文通过分析数学建模与中学数学应用问题的差异入手，着重阐述了中学数学建模问题的构建和数学建模对提高学生素养的作用。

关键词: 数学建模; 素质教育; 数学建模思想

一 数学建模问题与中学数学应用问题的差异

数学建模是建立数学模型的缩略表示，就是指根据具体问题，在一定的假设下找到解决这个问题的数学框架，求模型的解并进行验证的过程。其目的是使学生体会数学与自然及人类社会的联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

（一） 中学数学应用问题是数学专家和命题者经过精心加工提炼出来的，问题比较明确，问题中给出的条件一般是充分的；而数学建模的问题直接来自实际，问题中的条件往往是不充分的，有时甚至要求同学自己动手来收集数据。 例如，1985年美国大学生数学竞赛的一个问题：建立一定的环境中动物自然生长的数学模型．一定环境指有限的食物、空间、水等等．选择一种你可以找到与环境有关数据的鱼或哺乳动物(如北美的小种马、兔子、鲑鱼、条纹鲈鱼等等)，对于这种动物的总数建立数学模型并给出最优的饲养量．参赛队必须自己查阅资料，收集数据，才能完成问题的解答，这样的问题是在中学数学应用问题中不会出现的。

（二）在数学建模过程中为了使问题更明确，作一定的假设是必须的；然而在解决中学数学应用问题时，一般不需要假设。

（三）数学建模的讨论与论证，比解中学数学应用问题的验证要复杂得多．不仅要验证是否有增根或不符题意的根，而且还要考察它们与假设是否矛盾，与实际情况是否吻合等．

（四）中学数学应用问题只要求写出答案，而数学建模需要写一篇报告文章来总结。

（五）数学建模比中学数学应用问题更能贴近日常生活和生产实际，具有更高的科研价值。

（六）数学建模从形式上为充分调动学生的主体作用创造了条件。在教学中，尽量结合实际设置问题情境，提供实验操作，猜想，归纳验证等方面的背景材料或者先让学生深入实验进行调查收集材料数据，组织学生讨论分析，建立模型解决问题。使学生装在解决问题中感受数学学习的乐趣，这比教师在课堂上提出问题，学生进行解决问题更能激发学生的积极性。

虽然数学建模与中学数学应用问题有着以上明显的差异性，但是新世纪数学的最重要的发展是应用在课堂建立数学模型的教学，比传统的应用数学更进一步 。它是培养学生运用能力的重要一环。

二 中学数学建模问题的构建

中学数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的“用数学”意识以及分析和解决实际问题的能力。

（一） 重视课堂教学，立足课本习题的发掘改编

数学素质教育的主战场是课堂,数学建模应结合正常的教学内容切入,把培养学生的应用意识落实到平时的教学过程中。从课本内容出发，联系实际，以教材为载体。对课本中出现的应用题，可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题，逐步提高学生的建模能力。

例 1 建筑一个容积为8000米3，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价是a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长为x米的函数，并指出函数的定义域。

此题背景是与我们生活密切相关的工程造价问题，学生对此不会陌生，应该对每一个同学有一定的吸引力，问题是学生如何把这一应用题抽象化为数学模型。题目降低难度，预先设出变量x,y，并指出把总价y表示为底的一边长为x的函数，对学生的思路有提示作用，同时题目要求指出函数的定义域，这一点很多学生容易忽视，而对函数问题来说又是必不可少的条件。

这一题目用来训练学生利用函数的知识点建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性，内涵丰富。利用它可以改编出很多有较高思维价值的题目。

例2 有一条马路和公路交叉着，并相交的夹角为30。，在马路边且距交叉点160米处有一所学校。假设汽车行驶时周围100米以内会受到噪声污染，那么汽车以60米／小时在公路上行驶时，学校是否受到影响？请说明理由，并计算受到影响的时间。

〖建模〗

M Z

B D

0 F

E A N

【分析】取两条相交直线EF、MN表示马路和公路，交点为O，设A点表示学校的位置。从而可看出学校是否受到影响取决于点A到MN的距离，点A到MN的距离小于或等于100米时学校能受影响，反之则不受影响。过点A作AB⊥MN于点B，在Rt⊿ABO中易求AB的长为80米，显然学校受到噪声影响。要求受影响时间，就需求汽车影响学校这段时间所走过的路程：设开始影响在C点，结束影响时为D点，求出CD长即可。

（二） 深入生活联系实际，在生活中发现数学建模问题

学数学的一个基本目的是要用数学，用数学解决生活中的问题。目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题，如果教师能利用学生生活中的事情作背景编制数学建模题，必然会大大提高学生用数学的意识，以及学习数学的兴趣。

例1 某市准备在A、B两处铺上草坪（A处为正方形，B处为直角梯形），A、

B

两处所需草皮面积分别如下图。已知甲、乙某市准备在A、B两地有草皮出售，且售价一样，甲、乙两地到A、B两处每平方米草皮的运费如下表

每平方米划皮运费 （元）

A处 甲地 2.7 乙地 3.5

（1）、A处需草皮＿＿平方米，B处需草皮＿＿平方米。

B处 3.0 3.2 A B

（2）、如果甲地有草皮4000平方米，乙地有草皮2000平方米，当甲、乙两地各运往A、B两处多少平方米草皮时，总运费最省？最省的运费的多少？ 解 （1）A处需草皮3600平方米，B处需草皮2400平方米。 （2）〖建模〗

x

x－1600

设甲地运往A处x平方米草皮，依题意得

y=2.7x＋3（4000－x）＋3.5（3600－x）＋3.2（x－1600） =－0.6x＋19480

∴当x＝3600时，y最小＝17320

答：当甲地分别运往A处3600平方米，B处400平方米，乙地运往B处2000平方米时，总运费最省，最省的运费是17320元。

例2 王倩同学在商店里看到一块漂亮的方纱巾，想买来作为生日礼物送给妈

妈，

但当她拿起来看时感觉纱不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让王倩看另一组是否对齐，王倩还有些疑惑，老板又拉起另一组对角，让王倩检验，王倩终于买了这块纱巾。你认为王倩买的这块纱巾真是正方形的吗？当时采用什么方法就可以检验出来？

（1） （1） 【分析】

很明显商店老板的两次做法如图（2）、（3），最多只能断定该纱巾的四边相等而已，就是说该纱巾是菱形。所以说王倩买的这块纱巾不一定是正方形。而要确定它是正方形的话，尚须有一个角是直角，即沿一组对边中点的直线折叠便可，

（2）

（3）

（4）

甲 乙 A B