19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，
（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．
F分别为CD，BC的中点，（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．
（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．
11
20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b的值满足
（1）求点F的坐标；
（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；
（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P的坐标．
．
12
参考答案
．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．
（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．
∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，
∴BE＝
BD＝4，
∴CF＝EF，CP＝PB＝2，
∴PF＝BE＝2， ∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，
∴PA＝＝
＝2
，
∵AF≤PA+PF， ∴AF≤2
+2，
∴AF的最大值为2+2．
（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．
13
1
∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°， ∴∠CDB＝30°， ∴∠EOB＝60°， ∵EO＝EB，
∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝∵∠ECB＝60°，
∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，
作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝
，
，
∴PE＝PB＝PC＝＝，
∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°， ∴∠ABP＝90°， 在Rt△ABP中，AP＝∵AC≤PA+PC， ∴AC≤13+
，
，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．
＝
＝13，
∴AC的最大值为13+
14
∵PB∥CW， ∴＝＝
，
∴
＝
＝
，
∴CW＝+1，BW＝2
，
∴BC＝
＝
＝， ∴S△BCD＝?BC?BD＝?BC?
BC＝×（26+2
）＝13
+
．2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠BAE+∠EAC＝60°， ∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（ASA）， ∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形；
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