∴EF＝y﹣，
∵AM⊥AC， ∴AE∥OB， ∴
，
∴＝，
∴；
（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形， 则AE＝OE， ∵∠EAO＝90°， ∴这种情况不存在；
②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形， 如图2，过A作AP⊥EG于P， 则AP∥OE， ∴∠PAE＝∠AEO， ∴△APE∽△EAO， ∴
＝
，
∵AE＝AG， ∴PE＝y＝
，AE＝
＝
，∴＝，
解得：x＝2，
②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形， 如图3，过G作GQ⊥AE于Q， ∴∠GQE＝∠EAO＝90°，
∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，
21
∴∠EGQ＝∠AEO， ∵GE＝OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS）， ∴EQ＝AO＝2， ∴AE＝2EQ＝4＝
，
∴x＝， ∴BF＝2或．
6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，
∴CD在△ABC的内部，D落在AB上． 连接DC，
22
∵DE为BC的中垂线， ∴DB＝DC，
在△ADC中，AD+DC＞AC， ∴AD+DB＞AC， 即AB＞AC；
（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ACN＝135°， ∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACN（SAS）， ∴AE＝AN，
过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q， 由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC， ∴AP+AQ＞2AC，
∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°， ∴∠QCE＞∠E， ∴QE＞CQ， 同理可得PC＞PM，
由全等或对称性可得PC＝CQ， ∴QE＞PM．
∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ， 又∵AP+AQ＞2AC， ∴AM+AN＞2AC，
∵正方形ABCD中，AC＝BD． ∴AM+AN＞2BD．
23
7．解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ∵
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； ②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
24
∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC+∠ADG＝180°， ∴C、D、G在一条直线上， 与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ∵
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°， 由勾股定理得：BC＝
＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， ∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x， ∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x， ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠FBD＝90°，
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