∴∠ECP＝90°， ∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°， ∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°， 过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示： 则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BEF＝∠EBC， ∴EF＝BF， ∴
CF+CF＝BC＝10，
∴CF＝
＝10（
﹣1），
∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10
；
②由（1）得：△ABE≌△CBE， ∴∠AEB＝∠CEB，
当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°， ∴∠AEC＝2∠AEB＝105°， ∴∠CEP＝75°，
∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°， ∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠ECP＝∠CEP， ∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示： 则△ABN是等腰直角三角形， ∴AN＝BN＝
AB＝5
，
∵∠APB＝30°， ∴tan30°＝，即＝，
∴PN＝5
，
∴BP＝BN+PN＝5
+5
，
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10
或5
+5
．
33
12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，
∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵点E与点B关于直线AP对称， ∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB． ∴AE＝AD． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠AED+∠AEF＝180°，
∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°， ∴∠BFD+∠BAD＝180°， ∴∠BFD＝90°
34
∴BF⊥DF；
（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：
过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠CBF，
∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°， ∴∠MFB＝∠MFE＝45°， ∴△BMF是等腰直角三角形， ∴BM＝BF，FM＝
BF，
在△AMB和△CFB中，，
∴△AMB≌△CFB（SAS）， ∴AM＝CF， ∵AF＝FM+AM， ∴AF＝
BF+CF．
13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2， ∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2， ∴EF＝
＝
＝2
，
∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1， ∴E1F1＝EF＝2
；
②证明：∵四边形OABC为正方形， ∴OC＝OA．
∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，
35
∴∠AOE1＝∠COF1， ∵△OEF是等腰直角三角形， ∴△OE1F1是等腰直角三角形， ∴OE1＝OF1．
在△OAE1和△OCF1中，
∴△OAE1≌△OCF1（SAS）； （Ⅱ）解：∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直， 当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时， 则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上． ∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，
又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2． 当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限． 在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2， cos∠COF1＝
＝＝，
∴∠COF1＝60°， ∴∠AOE1＝60°．
∴点E1的横坐标＝2cos60°＝1， 点E1的纵坐标＝2sin60°＝∴点E1的坐标为（1，
，
）；
当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限． 同理可求：点E2的坐标为（1，﹣
）．
）或（1，﹣
）．
综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1，
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