几何最值问题复习
? 本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想
1. 解决几何最值问题的理论依据
①两点之间，线段最短（已知两个定点）；
②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）．
2. 几何最值问题常见的基本结构
①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P的位置
BAPl
BAPl
求(PA?PB)min，异侧和最小
BAMNl
BAMNl
MN为固定线段长，求(AM?BN)minAPBl
APBl
求PB?PAmax，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化
1
MADCO求ODmax
BN
不变特征：Rt△AOB中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．
二、 还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不
一样的地方．
①研究背景图形，相关信息进行标注；
②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析； ③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．
三、 根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别
和联系，简要写一写你的看法． 答：
2
下面是小明的看法：
①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析； ②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有 标注；
③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理 及公理．
如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．
四、 借助对上述问题的思考，做讲义的题目．
几何最值问题（讲义）
一、知识点睛
解决几何最值问题的通常思路：
1. 分析定点、动点，寻找不变特征．
2. 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题． 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢． 二、精讲精练
1. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为
EF的中点，则AM长度的最小值为____________．
3
CAFEBMPC
EDBOA
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC边上，则以AC为对角线的所有□ADCE中，DE长度的最小值为_____________．
?a)是一平行四边形的四个顶点，3. 若点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，则CD长度的最小值为_____________．
4. 如图，已知AB=2，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则DE长度的最小值为_____________．
PEDACB
ACQB第4题图 第5题图
5. 如图，已知AB=10，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形ACP和等边
三角形BCQ，则PQ长度的最小值为_____________．
6. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折
痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________________．
BPA'CBCAQD AD
7. 如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿
EF翻折，点A的对应点记为P．
（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是_______．
（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD长度的最小值为_____________．
4
DFAPCDPFCEB AEB
DCDCAB
AB
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=43，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转
任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．
BDEByADCGCAF
EOx9. 如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在点A下方的y轴上，
E是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE长度的最小值为_________．
10. 探究：如图1，在等边三角形ABC中，AB=6，AH⊥BC于点H，则AH=_______，△ABC的面积S△ABC?__________．
发现：如图2，在等边三角形ABC中，AB=6，点D在AC边上（可与点A，C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为点E，F，设BD=x，AE=m，CF=n．
AAFEDBHCB5
C
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