23．（本小题满分10分）
设n?N*，f(n)?3n?7n?2． （1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；
（2）证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．
参考答案与评分标准
一、填空题
1．{0,1} 2．1 3．4π 4．23 5．8 6．9．
3 7．3 8．81 55?116π1 10． 11．? 12．36 13．[?9,0] 14．(??,?5]
233二、解答题
15．（1）因为tanB?2，tanC?3，A?B?C?π，
所以tanA?tan[π?(B?C)]??tan(B?C)?????????????2分
??tanB?tanC
1?tanBtanC2?3???1，????????????4分 1?2?3又A?(0,π)，所以A?（2）因为tanB?π．????????????????????6分 4sinB?2，且sin2B?cos2B?1， cosB25又B?(0,π)，所以sinB?，?????????????????8分
5310同理可得，sinC?． ???????????????????10分
10253?csinB5?22．???????????14分 由正弦定理，得b??sinC31010C1 16．（1）连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点， A1 E所以B1E∥BD且B1E?BD， B1
F
所以四边形B1BDE是平行四边形，???????2分 所以BB1∥DE且BB1?DE，又BB1∥AA1且BB1?AA1， 所以AA1∥DE且AA1?DE， A C
D所以四边形AA1ED是平行四边形，???????4分
B所以A1E∥AD，又因为A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1， 16题） （第
所以直线A1E∥平面ADC1．???????????????????7分
（2）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面ABC，
又AD?平面ABC，所以AD?BB1，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD?BC，?????9分 又BB1,BC?平面B1BCC1，BB1?BC?B，
所以AD?平面B1BCC1，
又EF?平面B1BCC1，所以AD?EF，??????????????11分 又EF?C1D，C1D,AD?平面ADC1，C1D?AD?D，
所以直线EF?平面ADC1．???????????????????14分
17．（1）圆C的标准方程为(x?2)2?y2?4，所以圆心C(2,0)，半径为2．
2?0?1，
1?(?1)设直线l的方程为x?y?m?0， ?????????????????2分
因为l∥AB，A(?1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为则圆心C到直线l的距离为d?2?0?m2?2?m2．??????????4分
因为MN?AB?22?22?22，
2(2?m)MN2?2， ???????????6分 而CM2?d2?()，所以4?22解得m?0或m??4，
故直线l的方程为x?y?0或x?y?4?0．?????????????8分 （2）假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x?2)2?y2?4，
PA2?PB2?(x?1)2?(y?0)2?(x?1)2?(y?2)2?12，
即x2?y2?2y?3?0，即x2?(y?1)2?4， ????????????10分 因为|2?2|?(2?0)2?(0?1)2?2?2，??????????????12分 所以圆(x?2)2?y2?4与圆x2?(y?1)2?4相交，
所以点P的个数为2．??????????????????????14分 18．（1）因为AD?DC?2，BC?1，?ABC??BAD?90?，
D 所以AB?3，??????????????2分
E 取AB中点G，
121331311(1?)?GF?， 即??3(1?2)??2222222B A G F 3解得GF?，????????????????6分 （第18题图①） 6则四边形BCEF的面积为S梯形ABCD?S梯形BCEG?S△EFG， C 3321所以EF?()2?()2?(km)．
263 故灌溉水管EF的长度为D 21km．????????8分 E 3C F A （2）设DE?a，DF?b，在△ABC中，CA?12?(3)2?2， 所以在△ADC中，AD?DC?CA?2， 所以?ADC?60?， 所以△DEF的面积为S△DEF?又S梯形ABCDB 13（第18题图②） absin60??ab， 2433333?ab?，所以，即ab?3．????????12分 244在△ADC中，由余弦定理，得EF?a2?b2?ab≥ab?3， 当且仅当a?b?3时，取“?”．
故灌溉水管EF的最短长度为3km．??????????????16分
19．（1）证明：因为an?1?an?又因为a1?132，所以3n?1an?1?3nan??2，???????2分 n?131，所以31?a1=1， 313所以{3nan}是首项为1，公差为?2的等差数列． ??????????4分 （2）由（1）知3nan?1?(n?1)?(?2)?3?2n，所以an?(3?2n)()n，???6分
11133311111所以Sn? 1?()2?(?1)?()3?????(5?2n)?()n+(3?2n)?()n+1，
33333211111两式相减得Sn??2[()2?()3???()n]?(3?2n)?()n?1
33333311?()n?111113]?(2n?3)?()n?1?2n?()n?1， ??2[?139331?3n所以Sn?n．?????????????????????????10分
3（3）假设存在正整数p，q，r(p?q?r)，使Sp,Sq,Sr成等差数列，
所以Sn?1?()1?(?1)?()2?(?3)?()3?…?(3?2n)?()n，
132qpr??． 3q3p3r1 由于当n≥2时，an??3?2n?()n?0，所以数列{Sn}单调递减．
3pq?1 又p?q，所以p≤q?1且q至少为2，所以p≥q?1， ??????12分
33q?12qq?3 q?1?q?q．
333rpq?12q①当q≥3时，p≥q?1≥q，又r?0，
3333pr2q 所以p?r?q，等式不成立．????????????????14分
333②当q?2时，p?1，
41rr1所以??r，所以r?，所以r?3({Sn}单调递减，解唯一确定)．
39933综上可知，p，q，r的值为1，2，3． ????????????16分
120．（1）当a?2时，f(x)?lnx?2x2?2x，则f'(x)??4x?2，?????2分
x所以f'(1)??1，又f(1)?0，
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?y?1?0．????4分
111 （2）因为f()?ln??1，设函数g(x)?lnx?x?1，
aaa11?x则g'(x)??1?， ???????????????????6分
xx令g'(x)?0，得x?1，列表如下：
(0,1) (1??) x 1 则2Sq?Sp?Sr，即
g'(x) 0 ? g(x) 极大值 ↗ 所以g(x)的极大值为g(1)?0． 所以f()?ln? ↘ 111??1≤0．??????????????????8分
aaa12ax2?ax?1（3）f'(x)??2ax?a??，x?0，
xxa?a2?8aa?a2?8aa?a2?8a令f'(x)?0，得，因为?x??0，
4a4a4aa?a2?8aa?a2?8a所以f(x)在(0,)上单调增，在(,??)上单调减．
4a4aa?a2?8a)．??????????????????10分 所以f(x)≤f(4aa?a2?8a设x0?，因为函数f(x)只有1个零点，而f(1)?0，
4a所以1是函数f(x)的唯一零点．
当x0?1时，f(x)≤f(1)?0，f(x)有且只有1个零点，
a?a2?8a?1，解得a?1．????????????????12分 此时4a下证，当x0?1时，f(x)的零点不唯一．
a?a2?8a1?1，即0?a?1，则?1． 若x0?1，则f(x0)?f(1)?0，此时4aa11由（2）知，f()?0，又函数f(x)在以x0和为端点的闭区间上的图象不间断，
aa1所以在x0和之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意；
aa?a2?8a1?1，即a?1，则0??1． 若x0?1，则f(x0)?f(1)?0，此时4aa1同理可得，在和x0之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意．
a因此x0?1，所以a的值为1．???????????????????16分
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
E A．证明：连结AD，因为AB为圆O的直径，
D 所以?ADB?90?，
又EF?AB，?AFE?90?， 则A,D,E,F四点共圆，
所以BD?BE?BA?BF，??????????5分 又△ABC∽△AEF，即AB?AF?AE?AC，
C (第21－A题)
F A O B 所以BE?BD?AE?AC?BA?BF?AB?AF?AB??BF?AF??AB2．???? 10分
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