2018版高考数学复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量

压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量

三角函数的图象与性质

??ππ?2?π

[典例] 已知函数f(x)＝2sin?＋x?－3cos 2x，x∈?，?．

?4??42?

(1)求f(x)的最大值和最小值；

?ππ?(2)若不等式－2＜f(x)－m＜2在x∈?，?上恒成立，求实数m的取值范围．

?42??2?π

[解] (1)f(x)＝2sin?＋x?－3cos 2x

?4???π??＝?1－cos?＋2x??－3cos 2x

??2??

＝1＋sin 2x－3cos 2x π??＝1＋2sin?2x－?，

3??

?ππ?因为x∈?，?，

?42?

ππ2π所以≤2x－≤，

633π??故2≤1＋2sin?2x－?≤3，

3??所以f(x)max＝f?

?5π?＝3，f(x)＝f?π?＝2． ?min?4??12???

?ππ?(2)因为－2＜f(x)－m＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈?，?，

?42?

所以m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2． 又x∈?

?π，π?时，f(x)＝3，f(x)＝2，

?maxmin

?42?

所以1＜m＜4，

即m的取值范围是(1,4)． [方法点拨]

本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．

[对点演练]

π??已知函数f(x)＝Asin?ωx＋?(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tan x，它们的最小正周期之积4??

为2π，f(x)的最大值为2g?

2

?17π?．

??4?

(1)求f(x)的单调递增区间；

32?π?2

(2)设h(x)＝f(x)＋23cosx，当x∈?a，?时，h(x)的最小值为3，求a的值．

3?2?2π2

解：(1)由题意得·π＝2π，

ω所以ω＝1． 又A＝2g?

?17π?＝2tan17π＝2tanπ＝2，

?44?4?

?π?所以f(x)＝2sin?x＋?．

4??

πππ

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

2423ππ

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

44

3ππ??故f(x)的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)．

44??322

(2)h(x)＝f(x)＋23cosx

2π?32?2

＝×4sin?x＋?＋23cosx

4?2?

??π??＝3?1－cos?＋2x??＋3(cos 2x＋1)

??2??

＝3＋3＋3sin 2x＋3cos 2x π??＝3＋3＋23sin?2x＋?．

6??因为h(x)的最小值为3，

π?π?1??令3＋3＋23sin?2x＋?＝3?sin?2x＋?＝－． 6?6?2??

?π?因为x∈?a，?，

3??

π5π?π?

所以2x＋∈?2a＋，?，

66?6?ππ

所以2a＋＝－，

66π

即a＝－．

6

三角函数和解三角形

2b－ccos C[典例] 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且＝．

acos A(1)求A的大小；

(2)当a＝3时，求b＋c的取值范围． [解] (1)已知在△ABC中，由正弦定理， 得

2sin B－sin Ccos C＝，

sin Acos A2b－ccos C＝， acos A2

2

即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A ＝sin(A＋C)＝sin B， 1

所以cos A＝，

2所以A＝60°． (2)由正弦定理， 得

＝＝＝2， sin Asin Bsin Cabc则b＝2sin B，c＝2sin C， 所以b＋c＝4sinB＋4sinC ＝2(1－cos 2B＋1－cos 2C) ＝2[2－cos 2B－cos 2(120°－B)] ＝2[2－cos 2B－cos(240°－2B)] 3?1?

＝2?2－cos 2B＋sin 2B?

2?2?＝4＋2sin(2B－30°)． 因为0°＜B＜120°，

所以－30°＜2B－30°＜210°， 1

所以－＜sin(2B－30°)≤1，

2所以3＜b＋c≤6．

即b＋c的取值范围是(3,6]． [方法点拨]

三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．

2

22

2

2

2

2

2

[对点演练]

7π??2

已知函数f(x)＝2cosx－sin?2x－?．

6??

(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；

3

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f(A)＝，b＋c＝2，求实数a2的最小值．

7π??2

解：(1)∵f(x)＝2cosx－sin?2x－?

6??

7π7π??＝(1＋cos 2x)－?sin 2xcos－cos 2xsin ? 66??＝1＋31

sin 2x＋cos 2x 22

π??＝1＋sin?2x＋?．

6??∴函数f(x)的最大值为2． 要使f(x)取最大值， π??则sin?2x＋?＝1， 6??ππ

∴2x＋＝2kπ＋，k∈Z，

62π

解得x＝kπ＋，k∈Z．

6故f(x)取最大值时x的取值集合为

???π

?x?x＝kπ＋，k∈Z

6???

??

?． ??

π?3?(2)由题意知，f(A)＝sin?2A＋?＋1＝，

6?2?π?1?化简得sin?2A＋?＝．

6?2?∵A∈(0，π)， π?π13π?∴2A＋∈?，?，

6?6?6π5ππ

∴2A＋＝，∴A＝．

663在△ABC中，根据余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc．

π

3