材料物理与化学
?????倒格子矢量Gh1h2h3为晶面(h1h2h3)的法线方向；晶面方程(h1b1?h2b2?h3b3)?x?2?n,
????各晶面到原点O点的距离：?2?n?/h1b1?h2b21?h3b31 面间距：d?2?/Gh1h2h3 即
材料物理与化学习题补充
d?2???? h1b1?h2b2?h3b33-8画出BCC、FCC 、HCP的W-S原胞。 3-9
塞茨原胞(Wingner-Seitz)——由某一个格点为中心做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些包围的空间为维格纳—塞茨原胞。
SC的维格纳 — 塞茨原胞：原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体。
FCC的维格纳—塞茨原胞：原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。
BCC的维格纳—塞茨原胞：原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。
5-2
爱因斯坦比热理论：假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有振动模频率均相同，这个频率称为爱因斯坦频率?E。德拜比热理论，德拜提出了另一个简单近似模型：把格波看成是在晶体连续介质中传播的波速相等的弹性波，并且考虑到了格波频率的分布。 5-3
一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a
第n个原子离开平衡位置的位移?n 第n个原子和第n-1个原子间的相对位移
?n?1??n 第n个原子和第n＋1个原子间的距离a??n?1??n 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力?(?n?1??n)??(?n??n?1)??(?n?1??n?1?2?n)d2?n4?22aq??sin() ??(????2?)第n个原子的运动方程m 其中n?1n?1n2dtm2格波方程?n?Aei(?t?naq)
一维无限原子链——其余所有原子质量m，其中第n+1个原子质量为m?
第n个原子离开平衡位置的位移?n 第n个原子和第n-1个原子间的相对位移
?n?1??n 第n个原子和第n＋1个原子间的距离a??n?1??n 只考虑相邻原子
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材料物理与化学
的作用，第n个原子受到的作用力??(?n?1??n)??(?n??n?1)
d2?n4?22aq???sin() ??(???)??(???)第n个原子的运动方程m n?1nnn?12m2dt?格波方程?n?Aei(?t?naq)? 5-5
爱因斯坦模型中晶体中的原子振动是相互独立的，所有振动模频率均相同，这个频率称为爱因斯坦频率?E
三维中?????d??3N
0?m总能量: E?T????m??ie??i/kBT0?1????d? 体积不变时晶体的比热容是能量对温度求
?m一次导数，则为Cv???E/?T?v??0????e??i/kBTkB??kT??(e??i/kBT?1)2????d? ?B?2???E????E?e??i/kBT????3Nkf爱因斯坦模型中Cv?3NkB?BE??kT?(e??i/kBT?1)2? kT?B??B???? U??Nuexp(???)?1?? 5-6
2?德拜波矢：kD?l 简约布里渊区波矢KBZ??/a
Na简约布里渊区波矢包含在德拜波矢之中，德拜波矢的取值没有限制。 SC中a=0.3nm 5-7
1热导系数可写成:k?Cvv?
32德拜热容为：Cv???E/?T?v晶格的总能量：E?T???D?T?9NkB????D????3??D/T0x4exdx
(ex?1)2?D32?e?0???11/3?/kBT????d??3V2?Cs?e?0??3?/kBTd? ?1N??德拜截止频率：?D??6?2?Cs
V??4?D??(?)exp(?2???)k(T)?d?
2?cskBT2?0[exp(???)?1]26-2
2fRr0扩散系数 D? （*）
6（1）在体心立方晶体中，配位数为8，原子间距为3a/4，a为晶格参数。 原子跳跃率可以用跳跃频率fjump来表示和跳跃可能性p?v?来表示。定义nv?T?为空位浓度，则有p?v??8nv?T?，R?8nv?T?fjump。体心立方中r0?3a2/16。
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材料物理与化学
将以上带入（*）公式，则有D(T)?12fnv(T)fjump(a2/2)6（2）在面心立方晶体中，配位数为12，原子间距为2a/2，a为晶格参数。 原子跳跃率可以用跳跃频率fjump来表示和跳跃可能性p?v?来表示。定义nv?T?为空位浓度，则有p?v??12nv?T?，R?12nv?T?fjump。面心立方中r0?a2/2。
2?fnv(T)a2fjump
将以上带入（*）公式，则有D(T)?12fnv(T)fjump(a2/2)6?fnv(T)a2fjump
6-6
自由度F 由体系组分数C 和所含相数P 决定，即吉布斯相律：F =C ?P +1 单相区L、α、β中，C=2，P=1，故F=2-1+1=2；
双相区L+α、L+β、α+β中，C=2，P=2，故F=2-2+1=1； 共晶线上L+α+β，C=2，P=3，故F=2-3+1=0。 6-7
熵的变化值△Sm=△Hm/Tm，表明在Si、Ge、GaSb 的熔化过程中，无序度 有显著的增加。然而SiO2 的情况正好相反，熔化过程中熵值变化不大，△Sm=0.8—1.7kB。 6-8
A 原子在α、β位置的原子数为N(A, α)、N(A, β)。N(B, α)、N(B, β)同样是这样。 N (A) = N = N (A,α ) + N (A,β ) N (B) = N = N (B,α ) +N (B,β ) ； N (A,α )= (1+s )N/2 N (A,β ) = (1-s )N/2； N (B,α )=N- N (A,α )= (1-s )N/2 N (B,β ) = (1+s )N/2；
此处N(A，β)=N(B，α)，N(A，α)=N(B，β)前提是x=1/2，N(A)=N(B)。
22(N于是 N ( A ? A ) ? 1 ? S ) ，N(B?B)?2(1?S2)N，N(A?B)?4(1?S2)N
为了使原子的外层填满8个电子，以满足原子稳定性的要求，电子必须由（8-N）个近邻原子所共有，即为8N定则。 6-9
长程有序度S=（P-NA）/（1-NA）P表示A原子的正确位置上出现A原子的概率，NA表示A原子在合金中的原子分数。完全有序时，P=1，因此有序度参数S=1；完全无序时，P= NA，有序度参数S=0；S=-1时为部分有序。
N(A,?)?N(A,?)S?
N(A,?)?N(A,?)7-3
1费米-狄拉克分布f?E??
E?EFexp?1kBT7-5
费米动量为PF??KF，费米速度为VF??kF/m，费米温度为TF?EE/kB。其中
N1/3kF?3?2n n? n为电子密度。
Ve?漂移速度vd??E
m 8-3
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有效介电函数：?r
?r?14???r?23?n?，公式中?niiii?n
如果存在背景电介质材料的介电函数?rb，该方程就可以归纳为麦克斯韦-加内特
?r??rb???rb ??firi?r?2?rb?ri?2?rbi该方程由两部分组成，其中?r1起主导作用。可近似认为?rb??r1，以上方程可化（Maxwell-Garnet）方程：
?r??r1???r1。这里?r1表示材料1 的完整的介电函数。在有效媒介?f2r2?r?2?r1?r2?2?r1???r近似中?rb??r，故?firi?0。这就是?r的布鲁格曼（Bruggeman）方
??2?irir程。 9-1
洪德法则
法则一：在泡利原理允许下，总自旋量子数S=ΣmS取最大值；
法则二：在相应最大值S 的条件下，总轨道量子数L=Σml取最大值；
法则三：当电子数未达到电子壳层总电子数的一半时，总角动量量子数J=L-S；当电子数达到或超过电子壳层总电子数的一半时，J=L+S。
例如对于Cr3+情况，电子组态为3d3,则S = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2；L= 2 + 1 + 0 = 3；J = L–S = 3/2
(a) J=(L-S)=n(4-n)/2 for n<5；(b) J=(L+S)=(n-4)(10-n)/2 for n>5 10-2
滑移面和滑移方向往往是金属晶体中原子排列最密的晶面和晶向，这是因为原子
?2G2?a?密度最大的晶面其面间距最大，点阵阻力（?P?D?，其中bexp???1????1???b?为滑移面内原子间距，a为滑移面间的面间距）最小，因而容易沿着这些晶面发生滑移；至于滑移方向为原子密度最大的方向是由于最密排方向上的原子间距最
?短，即位错b最小。 11-1
Ecf?E?g?E?cdE。其中热平衡状态下，非简并半导体的导带电子浓度n0为n0??BEcVgc?E?为导带上的态密度。 为
?2mn??dZ1/2??导带底附近态密度：gc?E?? ?4?VE?Ec3dE??2mp??3/2dZ1/2价带顶附近态密度：gv?E?? ???4?VE?Ev3dE?3/2E?E?EF??2mn??1/2??将gc?E?的表达式代入得n0???4???exp?E?EdE c3??ECk0T???3/2?EC?EF?x?1/2?x??k0T?exp??xedx 3???0k0T???x????1/2?x???式中x??Ec?EC?/?k0T? 将?xedx近似为?x1/2e?xdx?
00??2设x??E?EC?/?k0T?则n0?4?第 4 页 共 6 页
?2mn??3/2
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