专题10.6 条件概率、二项分布及正态分布
【考试要求】
1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系； 2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；
3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；
4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 【知识梳理】 1.条件概率
条件概率的定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P（AB）为在事件A发生的条件下，事件P（A）B发生的条件概率 2.事件的相互独立性
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
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(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A). 3.全概率公式 (1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足： ①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式
n设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，∪Ai＝i＝1
nS，则对任一事件B，有P(B)＝∑P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组. i＝1
4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)率. 5.正态分布 (1)正态分布的定义
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝?bφ
kkn－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概
?aμ，σ
(x)dx，则称随机变量X服从正态分
布，记为X～N(μ，σ).其中φ
2
μ，σ
(x)＝
12πσ
（x－μ）
2
e2σ
2
(σ>0).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值σ
12π；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ 1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( ) 2 (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cnp(1－p) kkn－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分 布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( ) (4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立；对于(4)，取到红球的个数X服从二项分布. 【教材衍化】 2.(选修2－3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.3 10 1B. 3 3C. 8 2D. 9 【答案】 B 21 【解析】 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB) 105＝ 2×31 ＝， 10×915 故P(B|A)＝ P（AB）1 ＝. P（A）3 3.(选修2－3P75B2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X 【答案】 3 【解析】 ∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称， 且P(X>2c－1)＝P(X ∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝. 3【真题体验】 4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4) B.0.6 C.0.4 D.0.3 【解析】 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4) 4 4 6 6 6 4 2 2 p>0.5，所以p＝0.6. 5.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别23 为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) 343A. 4【答案】 D 【解析】 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是 23 2B. 3 5C. 7 D.5 12 ?3?3?2?5×?1－?＋×?1－?＝. ?4?4?3?12 6.(2019·青岛联考)已知随机变量X～N(1，σ)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________. 【答案】 0.2 【解析】 随机变量X服从正态分布N(1，σ)，∴正态曲线关于x＝1对称，∴P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－ 22 P(X>0)＝0.2. 【考点聚焦】 考点一 条件概率与事件独立性 【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1A. 8【答案】 B C3＋C242C21P（AB） 【解析】 法一 P(A)＝2＝＝，P(AB)＝P(B)＝2＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝ C5105C510P（A）1 101＝＝. 245 法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝ 2 2 2 1B. 42C. 51D. 2 n(AB)1 ＝. n(A)4 23 (2)(2019·天津和平区质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现 35
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