2019年四川省自贡市中考数学试题(word版,含解析)

MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐

标；

（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝

的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式； （2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标； （3）设抛物线对称轴与直线y＝

交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，

的距离，可分别先求出Q，F的坐

此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝标，由对称性可求出F的坐标．

【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c， 得，

，

解得a＝﹣1，b＝2，

∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K， 将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中， 得，

，

解得，k＝1，b＝1， ∴yAB＝x+1，

设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1）， 则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1） ＝﹣（a﹣）2+，

根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度， ∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ＝MK?AH+MK（?xB﹣xH） ＝MK（?xB﹣xA） ＝××3 ＝

，

∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，

S最大＝2S△AMB最大＝2×

＝，M（，）；

（3）如图2，设抛物线对称轴与直线y＝作点E关于点Q的对称点F，

交于点E，抛物线顶点为Q，

此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝∵y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x﹣1）2+4， ∴Q（1，4），E（1，

），

的距离，

∵点F与点E关于点Q对称， ∴F（1，

）．

【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．