54分专项练(四) 18、19、20、21
1．已知正项数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝(1)求a2，a3；
(2)设数列{bn}满足bn＝(an－1)－n，证明：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项．
2．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ccos A＋33acos C＝0，3tan(2 019π＋2A)＝. 4
(1)求tan C的大小；
(2)若C为钝角且c＝3，求△ABC的周长的取值范围．
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且
2
2
2n－1*
＋2(n≥2，n∈N)．
an－an－1
PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．
- 1 -
(1)求证：PB∥平面AEC；
(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M-AC-E的余弦值为在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关？ 10
？若存10
成功 不成功 合计 A材料 B材料 合计 (2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及UV胶层；1
②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环22
节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复3的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
n（ad－bc）2
附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
- 2 -
P(K2≥k0) k0
0.150 2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 54分专项练(四) 18、19、20、21
1．解：(1)由已知可得a2＋a1＝
2
2
3
＋2，因为a1＝2， a2－a1
2
所以a2－2＝3＋2(a2－2)，即a2－2a2－3＝0， 因为a2>0，所以a2＝3. 又a3＋a2＝
2
5
＋2，a2＝3， a3－a2
2
所以a3－9＝5＋2(a3－3)，即a3－2a3－8＝0， 因为a3>0，所以a3＝4. 故a2＝3，a3＝4.
(2)证明：由已知条件可知，an－an－1＝2(an－an－1)＋2n－1， 所以(an－1)－(an－1－1)＝n－(n－1)，
则(an－1)－n＝(an－1－1)－(n－1)＝…＝(a2－1)－2＝(a1－1)－1＝0， 而bn＝(an－1)－n，
所以bn＝0，数列{bn}为等差数列． 所以(an－1)＝n，而an>0， 故an＝n＋1.
2．解：(1)因为ccos A＋33acos C＝0，所以sin Ccos A＋33sin A·cos C＝0.又cos
2
22
2
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2
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2
2
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2
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2
2
2
2
2
2
Acos C≠0，所以tan C＝－33tan A.
332tan A31
因为tan(2 019π＋2A)＝，所以tan 2A＝，所以2＝，解得tan A＝或tan A441－tanA43
- 3 -
＝－3.
11
①若tan A＝，则tan C＝－33tan A＝－33×＝－3；
33②若tan A＝－3，则tan C＝－33tan A＝－33×(－3)＝93. 故tan C的值为－3或93.
(2)因为C为钝角，所以由(1)知tan C＝－3，又因为0 所以C＝. 3 a＋b?232?2222 由余弦定理得c＝a＋b－2abcosπ＝a＋b＋ab＝(a＋b)－ab≥(a＋b)－??＝ 3?2?4 2 2 2 (a＋b)，当且仅当a＝b时取等号， 所以(a＋b)≤4，则a＋b≤2. 又a＋b>c＝3，所以a＋b∈(3，2]． 所以△ABC的周长的取值范围是(23，2＋3]． 3.解：(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF.由平面ABCD为平行四边形，可知F为BD的中点． 在△PBD中，因为E，F分别为PD，BD的中点，所以EF∥PB. 又EF?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC. (2)由题意知，AC，AB，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz， 33??则A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(2，0，0)，D(2，－3，0)，P(0，0，3)，E?1，－，?， 22??33?→→? 所以AC＝(2，0，0)，AE＝?1，－，?. 22?? →→ 设M(x0，y0，z0)，PM＝λPB(0<λ<1)， → 则(x0，y0，z0－3)＝λ(0，3，－3)，得M(0，3λ，3－3λ)，所以AM＝(0，3λ，3－3λ)． 设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 2 2 - 4 -
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