江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试

高三数学试卷（理）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ．．．．．．．．

（必做题部分）

一、填空题（每小题5分，共70分）

1、已知集合A??x|x?3|?1?，B?xx2?5x?4?0，则A??B? ▲ ．

2222、已知a，b，c?R，命题“若a?b?c?3，则a?b?c≥3”的否命题是______

▲_____． 3、若sin(???12)?17?,则cos(??)的值为 ▲ . 3124、函数f(x)?x?2lnx单调递减区间是 ▲ ．

5、已知|a|=2，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值

为 ▲ ．

6、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x?R都有f(x)?f(x?4)，当

x?(?2,0)时，f(x)?2x，则f(2012)?f(2013)＝ ▲ ．

7、设?an?是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn?(an?1)(an?3),则an= ▲ ． 8、已知命题p：f(x)?1?a?3x在x????,0?上有意义，命题q：函数

R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围 的定义域为y?lg(a2x?x?a)▲ ．

y 9、设函数y?sinx(0?x??)的图象为曲线C，动点A(x,y)在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B(A、B可以重合），设线段

A B O AB的长为f(x)，则函数f(x)单调递增区间 ▲ ．

?? 2x

1110、当0≤x≤时，|ax?2x3|≤恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

2211、已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲

2π2sinx＋1??12、设x∈?0，?，则函数y＝的最小值为___▲_____． 2?sin 2x?

1

13、设实数a?1，若仅有一个常数c使得对于任意的x??a,3a?，都有y?[a,a2]满足方程logax?logay?c，这时，实数a的取值的集合为 ▲ ． 14、已知函数f(x)???2x?1(x?0)，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺

f(x?1)?1(x?0)?序排列成一个数列，则该数列的前n项的和Sn,则S10＝ ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤.

15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)． (1)若a与b?2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求b?c的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

16、(本题满分14分)

a(x?x?1)，其中a?0且a?1. 2a?1（1）求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； 已知函数f(logax)?（2）对于函数f(x)，当x?(?1,1)时，f(1?m)?f(1?m2)?0，求实数m的取值范围； （3）当x?(??,2)时，f(x)?6的值恒为负数，求函数a的取值范围.

17、设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2?an,n?1,2,3,?． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足b1?1，且bn?1?bn?an，求数列{bn}的通项公式； （III）设cn?n(3?bn)，求数列{cn}的前n项和Tn．

2

18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、

π

DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线

4

段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．

(1) 试将y表示为x的函数；

(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？

19．（本小题满分16分） 已知函数f(x)?13x?2x2?3x（x?R）的图象为曲线C． 3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐

标的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的

所有直线方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}满足：bn?an?1?an?n?N*?． （1）若a1?1,bn?n，求数列{an}的通项公式； （2）若bn?1bn?1?bn?n?2?，且b1?1,b2?2．

①记cn?a6n?1?n?1?，求证：数列?cn?为等差数列；

?a?②若数列?n?中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足

?n?的条件．

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数学Ⅱ（理科附加题）

21、自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小 ．

22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．

⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长． A

E

O

F

D B C

23. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种

一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有______种.

24．已知(1?1nx)展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),2an(x),an?1(x)．

设F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),?nan(x)?(n?1)an?1(x)．

（1）若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值； （2）求证：对任意x1,x2?[0,2]，恒有|F(x1)?F(x2)|?2

n?1(n?2)?1.

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