（2）对任意正整数m、k，是否存在数列{an}中的项an，使得|Sm﹣Sk|≤32an成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为an＝5Sn+1成立， 所以当n＝1时有a1＝﹣，且Sn＝an﹣，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1，即an＝﹣an﹣1， 所以an＝
．
又因为bn＝﹣1﹣log2|an|， 所以bn＝2n﹣1，Tn＝n， cn＝
＝
＝
﹣
，
2
所以An＝1﹣
；
（2）由（1）可知Sn＝
＝﹣[1﹣]，
数列{Sn}中：S1＝﹣，S2＝﹣当n为奇数时Sn＝﹣[1+所以Sn的最小值为
，
]单增，当n为偶数时Sn＝﹣[1﹣
，
]单减，
、最大值为
对任意正整数m、k，是否存在数列{an}中的项an，使得|Sm﹣Sk|≤32an成立， 即（
）﹣（
）＝
≤32an＝32?
，
解得：n∈{2，4}．
20．（13分）平面直角坐标系xOy中，与圆F1：（x+1）+y＝1和圆F2：（x﹣1）+y＝25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x0，y0）为轨迹C上任意一点；在直线l：y＝3上任取一点P向轨迹C引切线，切点为A、B．
（1）求动圆圆心轨迹C的方程，并求以M（x0，y0）为切点的C的切线方程； （2）证明：直线AB过定点H，并求出H的坐标； （3）过（2）中的定点H作直线AB的垂线交l于点T，求
2
2
2
2
2
2
2
的取值范围．
2
【解答】解：（1）∵与圆F1：（x+1）+y＝1和圆F2：（x﹣1）+y＝25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x0，y0）为轨迹C上任意一点，
第17页（共22页）
∴圆M与两圆都内切，F1（﹣1，0），r1＝1，F2（1，0），r2＝5， ∴|MF1|+|MF2|＝4，
由椭圆定义得动圆圆心轨迹C的方程为
．
设以M（x0，y0）为切点的切线方程为y＝kx+m，且满足y0﹣kx0＝m，（*）， 切线方程与椭圆
＝1联立，得（3+4k）x+8kmx+4m﹣12＝0，
2
2
2
2
2
2
2
2
∵相切，∴△＝（8km）﹣4（3+4k）（4m﹣12）＝0，整理，得：m＝3+4k， 将（*）代入，得：（y0﹣kx0）＝3+4k，∴（
2
2
）k﹣2x0y0k+
2
﹣3＝0，
解得k＝﹣
，∴y﹣y0＝﹣（x﹣x0），
整理，得：．
当斜率不存在时，上式也成立，
∴以M（x0，y0）为切点的C的切线方程为：
．
证明：（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），切线PA、PB的方程分别为
，
＝1，
都过P（m，n），∴∴直线AB的方程为
，＝1，
，
＝1，且n＝3，即方程为：y＝﹣
∴直线AB过定点H（0，1）．
解：（3）设直线AB的方程为y＝k1x+1， 与椭圆
联立，得：（3+4k1）x+8k1x﹣8＝0，
2
2
＞0，，，
直线AB的垂线方程为
，T（﹣2k1，3），
第18页（共22页）
|TH|＝，|AB|＝?＝?
，
∴＝?＝＝
≥，
， ，+∞）．
2
当k1＝0时，最小值为∴
的取值范围是[
21．（14分）已知函数f（x）lnx﹣ax+ax，a∈R． （1）当a＜0时，讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若关于x的不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1恒成立，求整数a的最小值； （3）对于函数（fx）图象上任意给定的两点A（x1，（fx1））、B（x2，（fx2）），试判断（f与
）
的大小关系（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），并给出证明．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝
．令φ（x）＝﹣ax+ax+1，
2
∵a＜0，∴二次函数φ（x）的开口朝上，对称轴为x＝＞0，恒过点（0，1）．
①△＝a+4a≤0时，即﹣4≤a＜0时．φ（x）≥0，在（0，+∞）恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．
②△＝a+4a＞0时，即a＜﹣4时．φ（x）＝0，在（0，+∞）有两个实根x1，x2，（设x1
＜x2）
x∈（0，x1），（x2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减，此时函数有两个极值点x1，x2，x1是极大值点，x2是极小值点．
综上：﹣4≤a＜0时，无极值；a＜﹣4时，函数有两个极值点． （Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2ax+x+1＝lnx﹣
+（1﹣a）x+1，（x＞0）
22
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g′（x）＝
①当a＞0时，g′（x）＝，，g（x）在（0，）
递增，x∈（，+∞），g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）递减， 故函数g（x）的最大值为g（）＝令h（a）＝
，则h′（a）＝﹣
，h（2）＝
＝
恒成立，∴h（a）在（0，+，
∞）单调递减，而h（1）＝
∴当a≥2时，h（a）≤h（2）＜0，∴不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1恒成立时，整数a的最小值为2；
②当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（1）＝2﹣∴不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1不恒成立，
综上：不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1恒成立时，整数a的最小值为2； （Ⅲ）
＝
＞0
∵，所以f′（）＝﹣a+a．
∴﹣f′（）＝＝
＝
不妨设x1＜x2，令t＝
，（t＞1），则ln﹣2＝lnt﹣2，（t＞1）
令G（t）＝lnt﹣2，（t＞1），则G（′（t）＝
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＞0，∴G（t）在（1，+∞）单
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