§7.2 均值不等式及其应用
最新考纲 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档. 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
a＋b
1.均值不等式：ab≤
2
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). ba
(2)＋≥2(a，b同号). ab(3)ab≤?a＋b?2
?2?(a，b∈R).
a2＋b2?a＋b?2(4)≥2?2?(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3.算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为ab，均值不等式可叙述为两个2正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 4.利用均值不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4概念方法微思考
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 1
2.函数y＝x＋的最小值是2吗？
x
11
提示 不是.因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最
xx小值.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝cos x＋
π4
0，?的最小值等于4.( × ) ，x∈??2?cos x
xy
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.( × )
yx
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).( √ )
1
(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.( × )
a
a＋b
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件.( × )
2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二 教材改编
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C
x＋y
解析 ∵x>0，y>0，∴≥xy，
2即xy≤?
x＋y?2
?2?＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案 25
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 1
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
2其中0 x＋?10－x??2 2??＝25， 当且仅当x＝10－x， 即x＝5时，ymax＝25. 题组三 易错自纠 1 4.“x>0”是“x＋≥2成立”的( ) xA.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C 1 解析 当x>0时，x＋≥2x 1x·＝2. x B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1111 因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件， xxxx故选C. 1 5.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2 A.1＋2 C.3 答案 C B.1＋3 D.4 1 解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2x－2＝ 1 ?x－2?×＋2＝4，当且仅当x－2 x－2 1 (x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. x－2 6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 3x＋y31 解析 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5， xyyx131?＋ 所以4x＋3y＝(4x＋3y)·?5?yx?3y12x1 4＋9＋＋? ＝?xy?5? 1 ≥(4＋9＋236)＝5， 5 3y12x 当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立， xy故4x＋3y的最小值为5.故选D. 题型一 利用均值不等式求最值 命题点1 配凑法 例1 (1)已知0
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