2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：圆的综合题（10题） 

学霸数学

2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：圆的综合题（10

题）

一、解答题（共10小题）

1．（2019?桂林三模）如图1，已知AB是eO的直径，AC是eO的弦，过O点作OF?AB交eO于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG （1）判断CG与eO的位置关系，并说明理由； （2）求证：2OB2?BCgBF；

（3）如图2，当?DCE?2?F，CE?3，DG?2.5时，求DE的长．

2．（2018?通辽）如图，eO是?ABC的外接圆，点O在BC边上，?BAC的平分线交eO于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是eO的切线； （2）求证：?ABD∽?DCP；

（3）当AB?5cm，AC?12cm时，求线段PC的长．

3．（2019?宜兴市二模）如图，矩形AOBC，A(0,3)、B(6,0)，点E在OB上，?AEO?30?，点P从点Q(?4,0)出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点E的坐标；

（2）当?PAE是等腰三角形时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PA为半径的eP随点P的运动而变化，当eP与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

第1页（共39页）

学霸数学

4．（2017?罗庄区二模）【问题背景】

如图1，在四边形ADBC中，?ACB??ADB?90?，AD?BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将?BCD绕点D，逆时针旋转90?到?AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2)，易证点C，A，E在同一条直线上，并且?CDE是等腰直角三角形，所以CE?2CD，从而得出结论：AC?BC?2CD 【简单应用】

（1）在图1中，若AC?2，BC?22，则CD? ．

?，若AB?13，BC?12，（2）如图3，AB是eO的直径，点C、D在eO上，?AD?BD求CD的长． 【拓展规律】

（3）如图4，?ACB??ADB?90?，AD?BD，若AC?m，BC?n(m?n)，求CD的长（用含m，n的代数式表示）

5．（2015?永州）问题探究： （一)新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二)问题解决：

?上任意一点，过点P分别作AB，已知eO的半径为2，AB，CD是eO的直径．P是BCCD的垂线，垂足分别为N，M．

第2页（共39页）

学霸数学

?上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边（1）若直径AB?CD，对于BC形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB?CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120?角．

?的中点P时（如图二），求MN的长； ①当点P运动到BC1②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值． （4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

6．（2015?常州）如图，一次函数y??x?4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与?OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得?OQB与?APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且?POM?90?，记?OAP外接圆和?OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求

11?的值． S1S2第3页（共39页）

学霸数学

7．（2019?云南）如图，AB是eO的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是eC上的点，且DE2?DBgDA，延长AE至F，使得AE?EF，设BF?10，cos?BED?（1）求证：?DEB∽?DAE； （2）求DA，DE的长；

（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．

4． 5

8．（2015?苏州）如图，在矩形ABCD中，AD?acm，AB?bcm(a?b?4)，半径为2cm的eO在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着

A?B?C?D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．eO在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当eO回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与eO同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P从A?B?C?D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）； （2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若

第4页（共39页）

学霸数学

点P与eO的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；

（3）如图②，已知a?20，b?10，是否存在如下情形：当eO到达eO1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与eO1恰好相切？请说明理由．

9．（2015?温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt?ABQ，使?BAQ?90?，AQ:AB?3:4，作?ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，过点C作直线m?l，过点O作OD?m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在PC?4，3射线CD上取点F，使DF?CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ?3x．

2（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． （3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交eO于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

10．（2019?深圳）已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(?3,0)，C(?3,8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交eE于点D，连接OD． （1）求证：直线OD是eE的切线；

（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交eE于点G，连接BG； ①当tan?ACF?②求

1时，求所有F点的坐标 （直接写出）； 7BG的最大值． CF第5页（共39页）

学霸数学

第6页（共39页）

学霸数学

2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：圆的综合题（10

题）

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题）

1．（2019?桂林三模）如图1，已知AB是eO的直径，AC是eO的弦，过O点作OF?AB交eO于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG （1）判断CG与eO的位置关系，并说明理由； （2）求证：2OB2?BCgBF；

（3）如图2，当?DCE?2?F，CE?3，DG?2.5时，求DE的长．

【考点】MR：圆的综合题

【专题】152：几何综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似

【分析】（1）连接CE，由AB是直径知?ECF是直角三角形，结合G为EF中点知?AEO??GEC??GCE，再由OA?OC知?OCA??OAC，根据OF?AB可得?OCA??GCE?90?，即OC?GC，据此即可得证；

（2）证?ABC∽?FBO得（3）证ECD∽?EGC得

BCAB，结合AB?2BO即可得； ?BOBFECED3DE，根据CE?3，DG?2.5知，解之可得． ??EGECDE?2.53【解答】解：（1）CG与eO相切，理由如下： 如图1，连接CE，

第7页（共39页）

学霸数学

QAB是eO的直径，

??ACB??ACF?90?， Q点G是EF的中点，

?GF?GE?GC，

??AEO??GEC??GCE， QOA?OC， ??OCA??OAC， QOF?AB，

??OAC??AEO?90?，

??OCA??GCE?90?，即OC?GC， ?CG与eO相切；

（2）Q?AOE??FCE?90?，?AEO??FEC， ??OAE??F，

又Q?B??B， ??ABC∽?FBO，

?

BCAB，即BOgAB?BCgBF， ?BOBFQAB?2BO，

?2OB2?BCgBF；

（3）由（1）知GC?GE?GF， ??F??GCF， ??EGC?2?F，

第8页（共39页）

学霸数学

又Q?DCE?2?F， ??EGC??DCE， Q?DEC??CEG， ??ECD∽?EGC，

?

ECED， ?EGECQCE?3，DG?2.5，

?

3DE， ?DE?2.53整理，得：DE2?2.5DE?9?0， 解得：DE?2或DE??4.5（舍)， 故DE?2．

【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．

2．（2018?通辽）如图，eO是?ABC的外接圆，点O在BC边上，?BAC的平分线交eO于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是eO的切线； （2）求证：?ABD∽?DCP；

（3）当AB?5cm，AC?12cm时，求线段PC的长．

【考点】MR：圆的综合题 【专题】15：综合题

【分析】（1）先判断出?BAC?2?BAD，进而判断出?BOD??BAC?90?，得出PD?OD即可得出结论；

（2）先判断出?ADB??P，再判断出?DCP??ABD，即可得出结论； （3）先求出BC，再判断出BD?CD，利用勾股定理求出BD?CD??ABD∽?DCP得出比例式求解即可得出结论．

132，最后用2【解答】解：（1）如图，连接OD，

第9页（共39页）

学霸数学

QBC是eO的直径， ??BAC?90?，

QAD平分?BAC，

??BAC?2?BAD， Q?BOD?2?BAD， ??BOD??BAC?90?， QDP//BC，

??ODP??BOD?90?， ?PD?OD， QOD是eO半径，

?PD是eO的切线；

（2）QPD//BC， ??ACB??P， Q?ACB??ADB，

??ADB??P，

Q?ABD??ACD?180?，?ACD??DCP?180?， ??DCP??ABD， ??ABD∽?DCP，

（3）QBC是eO的直径， ??BDC??BAC?90?，

在Rt?ABC中，BC?AB2?AC2?13cm，

QAD平分?BAC，

??BAD??CAD， ??BOD??COD， ?BD?CD，

在Rt?BCD中，BD2?CD2?BC2， ?BD?CD?

2132， BC?22第10页（共39页）

学霸数学

Q?ABD∽?DCP，

?

ABBD， ?CDCP1325?2， ?

CP1322?CP?16.9cm．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出?ABD∽?DCP是解本题的关键．

3．（2019?宜兴市二模）如图，矩形AOBC，A(0,3)、B(6,0)，点E在OB上，?AEO?30?，点P从点Q(?4,0)出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点E的坐标；

（2）当?PAE是等腰三角形时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PA为半径的eP随点P的运动而变化，当eP与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

【考点】MR：圆的综合题

【分析】（1）由A，B的坐标及?AEO?30?可得OE?33，即可求出点E的坐标； t（2）分三种情形①当EA?EP时，EP1?EA?EP2?6，求出．②当PA?PE时，设

222tP3A?P3E?x，在Rt?AOP3中，3?(33?x)?x，x?23，求出即可．③当AE?AP时，点P在点Q左边，不符合题意．

（3）本小题分三种情况讨论：①当PA?AE时，eP与AE相切；②当PA?AC时，eP与AC相切；③当PB?BC时，eP与BC相切；分别求出各种情况的t的值．

第11页（共39页）

学霸数学

【解答】解：（1）QA(0,3)，B(6,0)， ?OA?3，OB?6， Q?AEO?30?， ?OE?3OA?33，

?点E的坐标为(33，0)．

（2）如图1中，

当EA?EP时，EP1?EA?EP2?6， 根据勾股定理得：[6?(4?t)]2?32?36， 此时t?33?2或33?10，

当PA?PE时，设AP3?P3E?x，在Rt?AOP3中，32?(33?x)2?x2， ?x?23，此时t?4?3 当AE?AP时，点P在点Q左边，不符合题意．

综上所述，当?PAE是等腰三角形时，t的值为(33?2)s或(33?10)s或(4?3)s．

（3）由题意知，若eP与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况： ①如图2中，当PA?AE时，eP与AE相切，

第12页（共39页）

学霸数学

Q?AEO?30?，AO?3， ??APO?60?， ?OP?3，

?QP?QO?PO?4?3，

Q点P从点Q(?4,0)出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动， ?t?4?3（秒)．

②如图3中，当PA?AC时，eP与AC相切，

QQO?4，点P从点Q(?4,0)出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动， ?t?4（秒)，

③如图4中，当eP与BC相切时，

第13页（共39页）

学霸数学

由题意，PA2?PB2?(10?t)2，PO2?(t?4)2． 于是(10?t)2?(t?4)2?32． 解得t?25（秒)， 4综上所述，当eP与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为(4?3)秒或4秒或

25秒． 4【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、锐角三角函数的定义及外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

4．（2017?罗庄区二模）【问题背景】

如图1，在四边形ADBC中，?ACB??ADB?90?，AD?BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将?BCD绕点D，逆时针旋转90?到?AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2)，易证点C，A，E在同一条直线上，并且?CDE是等腰直角三角形，所以CE?2CD，从而得出结论：AC?BC?2CD 【简单应用】

（1）在图1中，若AC?2，BC?22，则CD? 3 ．

?，若AB?13，BC?12，（2）如图3，AB是eO的直径，点C、D在eO上，?AD?BD求CD的长． 【拓展规律】

第14页（共39页）

学霸数学

（3）如图4，?ACB??ADB?90?，AD?BD，若AC?m，BC?n(m?n)，求CD的长（用含m，n的代数式表示）

【考点】MR：圆的综合题

【分析】（1）代入结论：AC?BC?2CD，直接计算即可；

（2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：?ADB??ACB?90?，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC?BC?2CD，代入可得CD的长； （3）介绍两种解法：

解法一：作辅助线，构建如图3所示的图形，由AC?BC?2D1C，得D1C?在直角?CDD1，利用勾股定理可得CD的长；

解法二：如图5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将?BCD绕点D，顺时针旋转90?到?AED处，点B，C分别落在点A，E处，得?BCD??AED，证明?CDE是等腰直角三角形，所以CE?2CD，从而得出结论． 【解答】解：（1）由题意知：AC?BC?2CD，

?2?22?2CD，

2(m?n)，2?CD?3；

故答案为：3；

（2）如图3，连接AC、BD、AD，

QAB是eO的直径，

??ADB??ACB?90?，

?， Q?AD?BD?AD?BD，

QAB?13，BC?12，

第15页（共39页）

学霸数学

?由勾股定理得：AC?5，

由图1得：AC?BC?2CD， 5?12?2CD，

?CD?172； 2（3）解法一：以AB为直径作eO，连接DO并延长交eO于点D1， 连接D1A、D1B、D1C、CD，如图4， 由（2）得：AC?BC?2D1C， ?D1C?2(m?n)， 2QD1D是eO的直径， ??D1CD?90?，

QAC?m，BC?n，

?由勾股定理可求得：AB2?m2?n2，

?D1D2?AB2?m2?n2， QD1C2?DC2?D1D2，

(m?n)2(m?n)2， ?CD?m?n??22222Qm?n，

?CD?2(n?m)； 2解法二：如图5，Q?ACB??ADB?90?，

?A、B、C、D在以AB为直径的圆上，

??DAC??DBC，

将?BCD绕点D，顺时针旋转90?到?AED处，点B，C分别落在点A，E处， ??BCD??AED，

?CD?ED，?ADC??ADE， ??ADC??ADC??ADE??ADC，

即?ADB??CDE?90?，

第16页（共39页）

学霸数学

??CDE是等腰直角三角形，所以CE?2CD，

QAC?m，BC?n?AE， ?CE?n?m，

?CD?2(n?m)． 2

【点评】本题是圆和四边形的综合题，考查了圆周角定理、弦和弧的关系、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，运用了类比的思想，依次解决问题，是一道不错的圆和四边形的综合题．

5．（2015?永州）问题探究： （一)新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

第17页（共39页）

学霸数学

（二)问题解决：

?上任意一点，过点P分别作AB，已知eO的半径为2，AB，CD是eO的直径．P是BCCD的垂线，垂足分别为N，M．

?上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边（1）若直径AB?CD，对于BC形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB?CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120?角．

?的中点P时（如图二），求MN的长； ①当点P运动到BC1②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值． （4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

【考点】MR：圆的综合题 【专题】2B：探究型；16：压轴题

【分析】（1）如图一，易证?PMO??PNO?180?，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP?2；

（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN?OP?2，问题得以解决；

（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得?COP根据圆内接四边形1??BOP1?60?，的对角互补可得?MPN，从而得到△PMN是?PN?60?．根据角平分线的性质可得PM1111等边三角形，则有MN?PM．然后在Rt△PMO运用三角函数就可解决问题；②设四边形11PMON的外接圆为eO?，连接NO?并延长，交eO?于点Q，连接QM，如图三，根据圆周

角定理可得?QMN?90?，?MQN??MPN?60?，在Rt?QMN中运用三角函数可得：MN?QNgsin?MQN，从而可得MN?OPgsin?MQN，由此即可解决问题；

第18页（共39页）

学霸数学

（4）由（3）②中已得结论MN?OPgsin?MQN可知，当?MQN?90?时，MN最大，问题得以解决．

【解答】解：（1）如图一， QPM?OC，PN?OB， ??PMO??PNO?90?， ??PMO??PNO?180?，

?四边形PMON内接于圆，直径OP?2；

（2）如图一，

QAB?OC，即?BOC?90?， ??BOC??PMO??PNO?90?，

?四边形PMON是矩形，

?MN?OP?2，

?MN的长为定值，该定值为2；

（3）①如图二，

?QP1是BC的中点，?BOC?120? ??COP?60?． 1??BOP1?60?，?MPN1QPM?OC，PN?OB， 11， ?PM?PN11?△PMN是等边三角形， 1． ?MN?PM1QPM?OPsin?MOP3， 11g1?2?sin60???MN?3；

②设四边形PMON的外接圆为eO?，连接NO?并延长， 交eO?于点Q，连接QM，如图三， 则有?QMN?90?，?MQN??MPN?60?，

第19页（共39页）

学霸数学

在Rt?QMN中，sin?MQN??MN?QNgsin?MQN，

?MN?OPgsin?MQN?2?sin60??2??MN是定值．

MN， QN3?3， 2

（4）由（3）②得MN?OPgsin?MQN?2sin?MQN．

当直径AB与CD相交成90?角时，?MQN?180??90??90?，MN取得最大值2．

【点评】本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出MN?OPgsin?MQN是解决本题的关键．

6．（2015?常州）如图，一次函数y??x?4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与?OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

第20页（共39页）

学霸数学

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得?OQB与?APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且?POM?90?，记?OAP外接圆和?OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求

11?的值． S1S2

【考点】MR：圆的综合题 【专题】16：压轴题

【分析】（1）将y?0代入y??x?4，求得x的值，从而得到点A的坐标；

（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt?BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA?BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；

（3）首先根据题意画出图形，设AP?m，由?OAM∽?PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．

【解答】解（1）令y?0，得：?x?4?0，解得x?4， 即点A的坐标为(4,0)； （2）存在．

理由：第一种情况，如下图一所示：

第21页（共39页）

学霸数学

Q?OBA??BAP，?它们是对应角，

?BQ?PA，

将x?0代入y??x?4得：y?4， ?OB?4，

由（1）可知OA?4，

在Rt?BOA中，由勾股定理得：AB?OB2?OA2?42． Q?BOQ??AQP． ?QA?OB?4，BQ?PA． QBQ?AB?AQ?42?4， ?PA?42?4．

?点P的坐标为(4，42?4)；

第二种情况，如下图二所示：

第22页（共39页）

学霸数学

Q?OQB??APQ，

?AQ?BO?4，AB?42?42?42，BQ?AP， ?BQ?AB?AQ?42?4， ?AP?42?4，

?点P的坐标为：(4,?42?4)；

由上可得，点P的坐标为：(4,42?4)或(4,?42?4)． （3）如图所示：

令PA?a，MA?b，?OAP外接圆的圆心为O1，?OAM的外接圆的圆心为O2，?OP2?OA2?PA2?42?a2?16?a2，OM2?OA2?MA2?42?b2?16?b2，

在Rt?POM中，PM2?OP2?OM2?a2?16?b2?16， 又QPM2?(PA?AM)2?(a?b)2?a2?2ab?b2， ?ab?16，

QO1A2?O1Q2?QA2?(OA22)?(PA2)2?14a2?4OOA2MA212A2?O2N2?NA2?(2)?(2)?4b2?4， ?S??O21211?1A?(4a2?4)?，S2???O2A?(4b2?4)?，

第23页（共39页）

，

学霸数学

1111S1?S24a2?16?b2?16144???????． 22221212S1S2S1S2?16a?16b?16?164???(a?4)???(b?4)44??(a2?4)???(b2?4)

【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得

AM和PA的长度是解题的关键．

7．（2019?云南）如图，AB是eO的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是eC上的点，且DE2?DBgDA，延长AE至F，使得AE?EF，设BF?10，cos?BED?（1）求证：?DEB∽?DAE； （2）求DA，DE的长；

（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．

4． 5

【考点】MR：圆的综合题

【专题】55D：图形的相似；16：压轴题；63：空间观念；31：数形结合

第24页（共39页）

学霸数学

【分析】（1）?D??D，DE2?DBgDA，即可求解； （2）由

EDEBDBED6BD，即：，即可求解； ????DAAEED10?BD8DE12090432（3）在?BED中，过点B作HB?ED于点H，36?(，?x)2?()2?x2，解得：x?7735则cos??x24?，即可求解． 90257【解答】解：（1）Q?D??D，DE2?DBgDA，

??DEB∽?DAE；

（2）Q?DEB∽?DAE，

??DEB??DAE??，QAB是直径，??AEB?90?，又AE?EF， ?AB?BF?10，??BFE??BAE??，则BF?ED交于点H， Qcos?BED??

4，则BE?6，AE?8 5EDEBDBED6BD，即：， ????DAAEED10?BD8DE90120，DE?， 77160， 7解得：BD?则AD?AB?BD?ED?120； 7（3）点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，

QBF?ED，?BMF?90?，??MFB??D??，

在?BED中，过点B作HB?ED于点H， 设HD?x，则EH?120?x， 712090则36?(?x)2?()2?x2，

77第25页（共39页）

学霸数学

解得：x?则cos??432， 35x247?，则sin??， 9025257714?， 255MB?BFsin??10?DM?BD?MB?352． 35【点评】此题属于圆的综合题，涉及了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

8．（2015?苏州）如图，在矩形ABCD中，AD?acm，AB?bcm(a?b?4)，半径为2cm的eO在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着

A?B?C?D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．eO在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当eO回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与eO同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P从A?B?C?D，全程共移动了 (a?2b) cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与eO的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；

（3）如图②，已知a?20，b?10，是否存在如下情形：当eO到达eO1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与eO1恰好相切？请说明理由．

【考点】MR：圆的综合题 【专题】16：压轴题

【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；

第26页（共39页）

学霸数学

（2）根据圆O移动的距离与P点移动的距离相等，P点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据速度与时间的关系，可得答案； （3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得

v1的值，根据相似三角形的性质，可得v2根据等腰三角形的判定，可得BP与DP的关系，根据勾股定理，可得DP?ADB??BDP，

的长，根据有理数的加法，可得P点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO1的长，分类讨论：当eO首次到达eO1的位置时，当eO在返回途中到达eO1位置时，根据

v1的值，可得答案． v2【解答】解：（1）如图①，点P从A?B?C?D，全程共移动(a?2b)cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）Q圆心O移动的距离为2(a?4)cm， 由题意，得

a?2b?2(a?4)①，

Q点P移动2秒到达B，即点P2s移动了bcm，点P继续移动3s到达BC的中点，

1即点P3秒移动了acm．

21ab2??② 23?a?24由①②解得?，

b?8?Q点P移动的速度为与eO移动速度相同，

?eO移动的速度为

b8??4cm(cm/s)． 22这5秒时间内eO移动的距离为5?4?20(cm)； （3）存在这种情况，

设点P移动速度为v1cm/s，eO2移动的速度为v2cm/s， 由题意，得

v1a?2b20?2?105???， v22(a?4)2(20?4)4第27页（共39页）

学霸数学

如图：

设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，eO1与AD相切于G点， 若PD与eO1相切，切点为H，则O1G?O1H． 易得△DO1G?△DO1H，

??ADB??BDP．

QBC//AD， ??ADB??CBD

??BDP??CBD，

?BP?DP．

设BP?xcm，则DP?xcm，PC?(20?x)cm， 在Rt?PCD中，由勾股定理，得

PC2?CD2?PD2，即(20?x)2?102?x2，

解得x?25 22545?(cm)， 22此时点P移动的距离为10?QEF//AD， ??BEO1∽?BAD，

?

EO1BEEO18，即??，

ADBA2010EO1?16cm，OO1?14cm．

①当eO首次到达eO1的位置时，eO移动的距离为14cm， 4545此时点P与eO移动的速度比为2?，

1428Q455?， 284第28页（共39页）

学霸数学

?此时PD与eO1不能相切；

②当eO在返回途中到达eO1位置时，eO移动的距离为2(20?4)?14?18cm， 45455?此时点P与eO移动的速度比为2??，

18364此时PD与eO1恰好相切．

【点评】本题考查了圆的综合题，（1）利用了有理数的加法，（2）利用了P与eO的路程相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度乘以时间得出结果；（3）利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键．

9．（2015?温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt?ABQ，使?BAQ?90?，AQ:AB?3:4，作?ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，过点C作直线m?l，过点O作OD?m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在PC?4，3射线CD上取点F，使DF?CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ?3x．

2（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． （3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交eO于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

【考点】MR：圆的综合题 【专题】16：压轴题

【分析】（1）由AQ:AB?3:4，AQ?3x，易得AB?4x，由勾股定理得BQ，再由中位线

第29页（共39页）

学霸数学

的性质得AH?BH?1AB，求得CD，FD； 2（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM?AQ于点M（如图1)，则OM//AB，由垂径定理得QM?AM?论；

（3）①点P在A点的右侧时（如图1)，利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x?4?3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0?x?4时（如图2)，4?7x?3x，73x，由矩形性质得OD?MC，利用矩形面积，求得x，得出结242解得x，易得AP；当?x?时（如图3)，7?4x?3x，得AP；当点C在Q的左侧时，

732即x…（如图4)，同理得AP；

3②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ?2，当点N在AB的左侧时（如图5)，过点B作BM?EG于点M，GM?x，BM?x，易得?GBM?45?，BM//AQ，易得

AI?AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6)，过点B作BJ?GE于点J，由GJ?x，BJ?4x得tan?GBJ?解得x，得AP．

【解答】解：（1）在Rt?ABQ中， QAQ:AB?3:4，AQ?3x， ?AB?4x，

1，利用（1）（2）中结论得AI?16x， QI?19x，4?BQ?5x， QOD?m，m?l， ?OD//l，

QOB?OQ，

?AH?BH?1AB?2x， 2?CD?2x， 3?FD?CD?3x；

2

（2）QAP?AQ?3x，PC?4， ?CQ?6x?4，

作OM?AQ于点M（如图1)，

第30页（共39页）

学霸数学

?OM//AB，

QeO是?ABQ的外接圆，?BAQ?90?，

?点O是BQ的中点，

?QM?AM??OD?MC??OE?3x 29x?4， 215BQ?x， 22?ED?2x?4，

S矩形DEGF?DF?DE?3x?2x?4??90， 解得：x1??5（舍去），x2?3， ?AP?3x?9；

（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED?DF，

I．点P在A点的右侧时（如图1)

?2x?4?3x，解得：x?4， ?AP?3x?12；

II．点P在A点的左侧时，

当点C在Q右侧， 0?x?4时（如图2)， 7QED?4?7x，DF?3x， ?4?7x?3x，解得：x?2， 5?AP?6； 542当?x?时（如图3)， 73QED?4?7x，DF?3x， ?4?7x?3x，解得：x?2（舍去）， 52当点C在Q的左侧时，即x…（如图4)，

3DE?7x?4，DF?3x，

第31页（共39页）

学霸数学

?7x?4?3x，解得：x?1， ?AP?3，

6或3时，矩形DEGF是正方形； 5综上所述：当AP为12或

②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ?2， 当点N在AB的左侧时（如图5)， 过点B作BM?EG于点M， QGM?x，BM?x， ??GBM?45?，

?BM//AQ， ?AI?AB?4x，

?IQ?x，

?NQ?x2?2，

?x?22， ?AP?62；

当点N在AB的右侧时（如图6)， 过点B作BJ?GE于点J， QGJ?x，BJ?4x， ?tan?GBJ?1， 4?AI?16x，

?QI?19x， ?NQ??x?19x17?2，

217， 19617， 19617． 19?AP?综上所述：AP的长为62或第32页（共39页）

学霸数学

第33页（共39页）

学霸数学

【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．

10．（2019?深圳）已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(?3,0)，C(?3,8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交eE于点D，连接OD． （1）求证：直线OD是eE的切线；

（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交eE于点G，连接BG； ①当tan?ACF?②求

431时，求所有F点的坐标 F1(,0)，F2(5,0) （直接写出）；

317BG的最大值． CF

【考点】MR：圆的综合题

【专题】153：代数几何综合题；32：分类讨论；33：函数思想；16：压轴题

【分析】（1）连接ED，证明?EDO?90?即可，可通过半径相等得到?EDB??EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO?BO?AO，?ODB??OBD，得证；

第34页（共39页）

学霸数学

（2）①分两种情况：a)F位于线段AB上，b)F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；

CG2(64?CG2)BG?②应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令CF64y?CG2(64?CG2)??(CG2?32)2?322，应用二次函数最值可得到结论． 【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，QBC为圆的直径， ??BDC?90?， ??BDA?90? QOA?OB ?OD?OB?OA ??OBD??ODB

QEB?ED ??EBD??EDB

?EBD??OBD??EDB??ODB

即：?EBO??EDO QCB?x轴 ??EBO?90? ??EDO?90? Q点D在eE上

?直线OD为eE的切线．

（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N?AC于N， QF1N?AC

??ANF1??ABC?90?

第35页（共39页）

学霸数学

??ANF∽?ABC

?

ANNF1AF1 ??ABBCACQAB?6，BC?8，

?AC?AB2?BC2?62?82?10，即AB:BC:AC?6:8:10?3:4:5

?设AN?3k，则NF1?4k，AF1?5k

?CN?CA?AN?10?3k

?tan?ACF??AF1?5k?F1N104k1??，解得：k?

31CN10?3k750 31OF1?3?5043 ?3131即F1(43，0) 31如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M?CA于M， Q?AMF2∽?ABC

?设AM?3k，则MF2?4k，AF2?5k

?CM?CA?AM?10?3k

?tan?ACF?F2M4k1?? CM10?3k7解得：k?2 5?AF2?5k?2 OF2?3?2?5

即F2(5,0) 故答案为：F1(43，0)，F2(5,0)． 31②方法1：如图4，过G作GH?BC于H， QCB为直径

??CGB??CBF?90? ??CBG∽?CFB

第36页（共39页）

学霸数学

?

BGBCCG ??BFCFBC?BC2?CGgCF

?

BGBGgCGGHgBCGH1???? CFCFgCGBC2BC2BG11的最大值?． BC时，CF22BGBC，cos??， BCCF?当H为BC中点，即GH?方法2：设?BCG??，则sin???sin?cos??BG CFQ(sin??cos?)2…0，即：sin2??cos2?…2sin?cos? Qsin2??cos2??1， ?sin?cos???

1BG1，即? 2CF2BG1的最大值?． CF2

第37页（共39页）

学霸数学

【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．

第38页（共39页）

学霸数学

考点卡片

1．圆的综合题 圆的综合题．

第39页（共39页）