【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线； 证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2
，∴⊙D的半径AD＝2
．
，于是得到结论．
【例题4】（2019?江苏苏州）如图，AE为eO的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F. （1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE?DA?DC2; （3）若tan?CAD?CEFAOB1，求sin?CDA的值. 2D
5
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为eO的半径 ∴OD⊥BC
又∵AB为eO的直径 ∴?ACB?90?∴AC∥OD （2）证明：∵D为弧BC的中点
??BD?∴?DCB??DAC∴?DCE∽?DAC ∴CD∴
DCDE即DE?DA?DC2 ?DADC,
1 2（3）解：∵?DCE∽?DAC，tan?CAD?∴
CDDECE1??? DADCAC2设CD=2a，则DE=a，DA?4a 又∵AC∥OD∴?AEC∽DEF ∴
CEAE8??3所以BC?CE EFDE3,
又AC?2CE,∴AB?10CE 3CA3? AB5即sin?CDA?sin?CBA?
专题典型训练题
一、选择题
1．(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的
倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° 【答案】C．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确
B．30°
C．45°
D．60°
6
定∠ASB的度数．
设圆心为O，连接OA.OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的即AB＝
2
2
倍，
OA，
2
∴OA+OB＝AB，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
2.（2019?山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连
A．35° 【答案】C．
【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可， 连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°
B．38°
C．40°
D．42°
3.（2019?广西贵港）如图，AD是⊙O的直径，
＝
，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
7
A．40° 【答案】B．
【解析】根据圆周角定理即可求出答案． ∵
＝
，∠AOB＝40°，
B．50°
C．60°
D．70°
∴∠COD＝∠AOB＝40°， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴∠BOC＝100°， ∴∠BPC＝∠BOC＝50°
4.（2019?湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 【答案】A
【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键． 连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中，
，
B．3个
C．2个
D．1个
8
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