上海市松江区2019年高三高考二模数学试题及答案(word版)

上海市松江区2019届高三二模数学试卷

2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合A?{x||x?1|?1}，B?{x|x?1}，则A

2. 抛物线y2?2x的准线方程为

3. 已知函数f(x)?log2x的反函数为f?1(x)，则f?1(2)?

4. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为?

5. 若x、y的方程组?

6. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积S?B?

1，Sn表示{an}的前n项和，则limSn?

n??2m1?x?my?1?0有无穷多组解，则的值为

1n?2x?4y?n?012(a?c2?b2)，则 3tanB?

7. 若(2x2?

1n)的展开式中含有常数项，则最小的正整数n为 x?x?y?6?0?8. 设不等式组?x?y?2?0表示的可行域为?，若指数函数y?ax的图像与?有公共点，

?x?3y?6?0?则a的取值范围是

9. 若函数f(x)?sin?xcos?x?3cos2?x的图像关于直线x?值为

10. 在正方体ABCD?A1B1C1D1的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为

|x||x|211. 若函数f(x)?4?(2|x|?9)2?x?9|x|?18有零点，则其所有零点的集合为

?3

对称，则正数?的最小

（用列举法表示）

1

12. 如图，A是圆O:x2?y2?9上的任意一点，B、C是 圆O直径的两个端点，点D在直径BC上，BD?3DC， 点P在线段AC上，若AP??PB?(??)PD，则点P的 轨迹方程为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知l、m、n是三条不同直线，?、?是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若l?m，l?n，则m∥n

B. 若m??，n??，?∥?，则m∥n C. 若m??，n??，m

12n?A，l?m，l?n，则l??

D. 平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等，则?∥?

x214. 过点(1,0)与双曲线?y2?1仅有一个公共点的直线有（ ）

4A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

15. 十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数n?2时，关于x、y、z的方程

xn?yn?zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁?怀尔斯给出了证

明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）

① 对任意正整数n，关于x、y、z的方程xn?yn?zn都没有正整数解； ② 当整数n?2时，关于x、y、z的方程xn?yn?zn至少存在一组正整数解； ③ 当正整数n?2时，关于x、y、z的方程xn?yn?zn至少存在一组正整数解； ④ 若关于x、y、z的方程xn?yn?zn至少存在一组正整数解，则正整数n?2； A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④

16. 如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y??x 等分成八个区域（不含边界），已知数列{an}，Sn表示数列

{an}的前n项和，对任意的正整数n，均有an(2Sn?an)?1，

当an?0时，点Pn(an,an?1)（ ） A. 只能在区域② B. 只能在区域②和④ C. 在区域①②③④均会出现

2

D. 当n为奇数时，点Pn在区域②或④，当n为偶数时，点Pn在区域①或③

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD?底面ABCD，

PD?1.

（1）求直线PB与平面PCD所成的角的大小； （2）求四棱锥P?ABCD的侧面积.

18. 已知复数z满足|z|?2，z2的虚部为2. （1）求复数z；

（2）设复数z、z2、z?z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求(OA?OB)?OC的值.

19. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员， 其中技术人员x名（x?N*且x?[45,60]），调整后研发人员的年人均投入增加2x%， 技术人员的年人均投入调整为m(a?3x)万元. 50（1）要使这100?x名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；

（2）是否存在这样的实数a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a的范围，若不存在，说 明理由.

3

x2y220. 把半椭圆?1:2?2?1（x?0）与圆弧?2:(x?1)2?y2?a2（x?0）合成的曲线

ab称作“曲圆”，其中F(1,0)为?1的右焦点，如图所示，A1、A2、B1、B2分别是“曲圆”

2与x轴、y轴的交点，已知?B1FB2??，过点F且倾斜角为?的直线交“曲圆”于P、Q

3两点（P在x轴的上方）.

（1）求半椭圆?1和圆弧?2的方程；

（2）当点P、Q分别在第一、第三象限时，求△A1PQ的周长C的取值范围； （3）若射线FP绕点F顺时针旋转并求△FPR的面积的最小值.

21. 无穷数列{an}、{bn}、{cn}满足：n?N*，an?1?|bn?cn|，bn?1?|cn?an|，

?交“曲圆”于点R，请用?表示P、R两点的坐标， 2cn?1?|an?bn|，记dn?max{an,bn,cn}（max{an,bn,cn}表示3个实数an、bn、cn中的

最大数）.

（1）若a1?8，b1?4，c1?2，求数列{dn}的前n项和Sn；

（2）若a1??1，b1?1，c1?x，当x?R时，求满足条件d2?d3的x的取值范围；

bk?1?bk，ck?1?ck. b1、c1，（3）证明：对于任意正整数a1、必存在正整数k，使得ak?1?ak，

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上海市杨浦区2019届高三二模数学试卷

参考答案

一. 填空题

1. (1,2) 2. x??12 3. 4 4. 23

5. 3 6. 43 7. 5 8. (1,2] 9. 14 10. 255 11. {?2,?1,1,2} 12. (x?1)2?y2?4

二. 选择题

13. C 14. D 15. D 16. B

三. 解答题 17.（1）arctan255；（2）2?25 18.（1）z?1?i，z??1?i；（2）?2

19.（1）(1?2x%)(100?x)m?100m，x?50；（2）[235,5] 20.（1）x2y24?3?1，x?0，(x?1)2?y2?4，x?0；（2）(6,8)；（21.（1）S1?8，S2?14，S3?18，Sn?2n?12，n?4；（2）?1；（

3）81?36249

3）略. 5