2019年
第3讲 立体几何中的向量方法
[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．
热点一 利用向量证明平行与垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有 (1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
例1 如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
证明 (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,1)．
2019年
∵点E，F分别是PC，PD的中点， 1?1??1?∴E?，1，?，F?0，1，?， 2?2??2?→??→
EF＝?－，0，0?，AB＝(1,0,0)．
1?2
?
1→→
∵EF＝－AB，
2→→∴EF∥AB， 即EF∥AB，
又AB?平面PAB，EF?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. (2)由(1)可知，
AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，
→→
∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，
→→→
AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
→→→→∴AP⊥DC，AD⊥DC， 即AP⊥DC，AD⊥DC.
又AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD， ∴DC⊥平面PAD.
∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.
思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
→→
2019年
跟踪演练1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD.
证明 方法一 (1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
?1?设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M?，0，0?，
?2??111?O?，，?. ?222??
→??→
OM＝?0，－，－?，BA＝(－1,0,0)，
22
1
1
?
→→→→
∴OM·BA＝0，∴OM⊥BA. ∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，
→
∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量， 且OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.
(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为
n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
→→?1→?→
∵DF＝(1，－1,1)，DM＝?，－1，0?，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)，
?2?→??n1·DF＝0，
由?
→??n1·DM＝0，
x1－y1＋z1＝0，??
得?1
x1－y1＝0，??2
1??1
令x1＝1，则n1＝?1，，－?.同理可得n2＝(0,1,1)．
2??2∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.
2019年
→→→→
方法二 (1)OM＝OF＋FB＋BM
1→→1→1→→→1→＝DF－BF＋BA＝(DB＋BF)－BF＋BA 22221→1→1→＝－BD－BF＋BA
2221→→1→1→＝－(BC＋BA)－BF＋BA
2221→1→＝－BC－BF.
22
→→→
∴向量OM与向量BF，BC共面，BF，BC?平面BCF， 又OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF.
(2)由题意及(1)知，BF，BC，BA两两垂直， →→→→→∵CD＝BA，FC＝BC－BF，
→→?1→1→?→
∴OM·CD＝?－BC－BF?·BA＝0，
2??2→→??→→
OM·FC＝?－BC－BF?·(BC－BF) 1→21→2
＝－BC＋BF＝0，
22→→→→∴OM⊥CD，OM⊥FC， 即OM⊥CD，OM⊥FC，
又CD∩FC＝C，CD，FC?平面EFCD， ∴OM⊥平面EFCD.
又OM?平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD. 热点二 利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角
π??设l，m的夹角为θ?0≤θ≤?， 2??
|a·b||a1a2＋b1b2＋c1c2|
则cos θ＝＝222. 22
|a||b|a1＋b1＋c1 a22＋b2＋c2(2)线面夹角
π??设直线l与平面α的夹角为θ?0≤θ≤?，
2??
1→1→
2??2
相关推荐：
loading