2019年
|a·μ|
则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.
|a||μ|(3)二面角
设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， |μ·v|
则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|.
|μ||v|
例2 (2018·泉州质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．
(1)求证：BE∥平面PCD；
(2)若平面PAD ⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值． (1)证明 取PD中点F，连接CF，EF. 因为点E为PA的中点， 1
所以EF∥AD且EF＝AD，
21
又因为BC∥AD且BC＝AD，
2所以EF∥BC且EF＝BC， 所以四边形BCFE为平行四边形， 所以BE∥CF，
又BE?平面PCD，CF?平面PCD， 所以BE∥平面PCD.
(2)解 在平面ABCD中，过点D作DG⊥AD，在平面PAD中，过点D作DH⊥AD.
因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，DG?平面ABCD，所以DG⊥平面PAD， 又DH?平面PAD，
所以DG⊥DH，所以DA，DG，DH两两互相垂直．
以D为原点，DA，DG，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz(如
2019年
图)，
则A(4，0，0)，B(3，3，0)，C(1，3，0)，P(－2，0，23)，E(1，0，3)， →→
所以AC＝(－3，3，0)，AP＝(－6，0，23)，
EB＝(2，3，－3)，
设n＝(x，y，z)是平面ACP的一个法向量， →??n·AC＝0，
则?
→??n·AP＝0，
→
?－3x＋3y＝0，
即?
?－6x＋23z＝0，
取x＝1，则y＝3，z＝3，得n＝(1，3，3)． 设直线BE与平面PAC所成角为θ，
2＋3－370→
则sin θ＝|cos〈n，EB〉|＝＝，
3510×7所以直线BE与平面PAC所成角的正弦值为
70
. 35
思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|；②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角；③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化．
跟踪演练2 如图，在四面体ABCD中，BA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.
(1)证明：BD⊥AC；
(2)若∠ABD＝60°，BA＝2，四面体ABCD的体积为2，求二面角B－AC－D的余弦值． 方法一 (1)证明 如图，作Rt△ABD斜边BD上的高AE，连接CE.
2019年
因为BA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°， 所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得CE⊥BD. 又AE∩CE＝E，AE，CE?平面AEC， 所以BD⊥平面AEC，
又AC?平面AEC，所以BD⊥AC.
(2)解 在Rt△ABD中，因为BA＝2，∠ABD＝60°， 所以BD＝4，AE＝3，CE＝3，
S△AEC＝sin∠AEC.
因为BD⊥平面AEC，四面体ABCD的体积为2， 13
所以××sin∠AEC×4＝2，
32sin∠AEC＝1，∠AEC＝90°， 所以AE⊥平面BCD.
以E为原点，EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系E－xyz.
→→
则A(0,0，3)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－3,0,0)，AB＝(1,0，－3)，AC＝(0，3，→
－3)，AD＝(－3,0，－3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面BAC的一个法向量， →??m·AB＝0，
则?
→??m·AC＝0，
32
?x1－3z1＝0，即?
?3y1－3z1＝0，
可取z1＝1，得m＝(3，1,1)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面DAC的一个法向量， →??n·AC＝0，
则?
→??n·AD＝0，
?3y2－3z2＝0，
即?
?－3x2－3z2＝0，
可取x2＝－1，得n＝(－1，3，3)．
m·n105
因为cos〈m，n〉＝＝，二面角B－AC－D的平面角为钝角，所以二面角B－AC－
|m||n|35D的余弦值为－
105. 35
方法二 (1)证明 因为BA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，
2019年
所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得AD＝CD.
设AC中点为E，连接BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，
又BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE， 所以AC⊥平面BDE，
又BD?平面BDE，所以BD⊥AC.
(2)解 由(1)知，∠BED为二面角B－AC－D的平面角， 在Rt△BCD中，因为BC＝2，∠ABD＝∠CBD＝60°， 所以△BCD的面积为23. 设点A到平面BCD的距离为h，
因为四面体ABCD的体积为2，所以h＝3. 在平面ABD内过A作AF⊥BD，垂足为F， 因为BA＝2，∠ABD＝60°， 所以AF＝3.
由点到平面的距离的定义知，AF⊥平面BCD. 所以AF⊥FC，所以AC＝6. 因为BA＝2，AD＝23， 所以BE＝
1042，DE＝， 22
BE2＋DE2－BD2105
所以cos∠BED＝＝－，
2BE·DE35
即二面角B－AC－D的余弦值为－105
. 35
热点三 利用空间向量求解存在探索性问题
存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．
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