2019年
25→
sin〈n，DA〉＝.
5
25
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.
5押题预测
如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，DF＝2BE＝2，EF＝3.
(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；
(2)若二面角A－EF－C是直二面角，求AE与平面ABCD所成角的正切值．
押题依据 利用空间向量求二面角全面考查了空间中的建系、求法向量、求角等知识，是高考的重点和热点．
(1)证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BE⊥AC， 又BE∩BD＝B，BE，BD?平面BEFD， ∴AC⊥平面BEFD. ∵AC?平面ACF， ∴平面ACF⊥平面BEFD. (2)解 方法一 (向量法)
→→→
设AC与BD交于点O，以点O为原点，OA方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，BE方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．
2019年
取DF的中点H，连接EH. 11
∵BE∥DF且BE＝DF，DH＝DF，
22∴四边形BEHD为平行四边形， ∵在Rt△EHF中，FH＝1，EF＝3， ∴EH＝22，∴BD＝22.
设AB的长为a，则各点坐标为A(a2－2，0，0)，
E(0，2，1)，F(0，－2，2)，C(－a2－2，0，0)，
→→
∴AE＝(－a2－2，2，1)，EF＝(0，－22，1)，
CE＝(a2－2，2，1).
设n1＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量， n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量． →??n1·AE＝0，
由?
→??n1·EF＝0，
1
1
→
1
?－a2－2x1＋2y1＋z1＝0，
得?
?－22y1＋z1＝0，
?z＝22y，即?32
x＝
?a－2y.
1
22
令y1＝a－2，得n1＝(32，a2－2，22a2－4)， 同理得n2＝(－32，a2－2，22a2－4). ∵二面角A－EF－C是直二面角， ∴n1·n2＝0，得a＝2，
2019年
由题意可得∠EAB为AE与平面ABCD所成的夹角， ∵AB＝2，BE＝1，
BE1
∴tan∠EAB＝＝.
AB2
方法二 (几何法) 设AC与BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形，
∴△ADF≌△CDF，△ABE≌△CBE， ∴AF＝CF，AE＝CE，∴△AEF≌△CEF. 过A作AM⊥EF，连接CM，则CM⊥EF， 则∠AMC为二面角A－EF－C的平面角． 设菱形的边长为a，
∵BE＝1，DF＝2，EF＝3，DF⊥BD，∴BD＝22. 在△AOB中，AO＝a－2，∴AC＝2a－2，
2
2
∵二面角A－EF－C为直二面角，∴∠AMC为直角， ∴AM＝2a－4，
在△AEF中，AM⊥EF，设ME＝x，则MF＝3－x，
2
AF＝a2＋4，AE＝a2＋1，
(2222222
a2＋4)－(3－x)＝(a2＋1)－x，解得x＝1，将x＝1代入到(a＋4)－(3－x)＝
(2a－4)中， 解得a＝2.
∵AE与平面ABCD所成的角为∠EAB， 1
∴tan∠EAB＝.
2
22
2019年
A组 专题通关
→3→1→1→
1．已知平面ABC，点M是空间上任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM( )
488A．与平面ABC平行 C．是平面ABC的垂线 答案 D
解析 由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，故选D.
2．(2018·上海松江、闵行区模拟)如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条→
坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2,1,2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cos θ等于( )
B．是平面ABC的斜线 D．在平面ABC内
4522A. B. C. D．－ 3333答案 C
→
解析 由题意可知，平面ABO的一个法向量为OC＝(0,0,2)， 由图可知，二面角C－AB－O为锐角，
→
|OC·n||4|2
由空间向量的结论可知，cos θ＝＝＝.
→2×33|OC||n|
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是( )
?ππ?A.?，? ?43??ππ?C.?，? ?62?
答案 D
?ππ?B.?，? ?42??ππ?D.?，? ?63?
解析 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点P坐标为(x,1－x，x)(0≤x≤1)，
相关推荐：
loading