2019年
→→
则BP＝(x－1，－x，x)，BC1＝(－1,0,1)， 因为BC1∥AD1， →→
设BP，BC1的夹角为α，
→→BP·BC11
所以cos α＝＝＝22
→→?x－1?＋2x×2|BP||BC1|13π
所以当x＝时，cos α取得最大值，α＝.
3261π
当x＝1时，cos α取得最小值，α＝.故选D.
23
4．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.
315103
B. C. D. 2553
1
，
12??2
3?x－?＋×2?3?3
答案 C
解析 方法一 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，
B1D1，BD，AB1，BC1.
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1， 所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知，BD＝2＋1－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝3.
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
222AB1＋AD1－B1D15＋2－310
所以cos θ＝＝＝.
2×AB1×AD12×5×25
2
2
2
故选C.
方法二 以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系B1－xyz，如图所示．
2019年
→
由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，3，1)，则BC1＝(1,0，－1)，
AB1＝(1，－3，－1)．
210
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.
→→55×2|AB1||BC1|
→
→
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故选C.
5．(2017·全国Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③
解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
10
. 5
→
AB1·BC1
→→
由题意知，点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
→
设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈ [0，2π)，则B(cos θ，sin θ，0)， →→
∴AB＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB|＝2. 设直线AB与直线a所成的夹角为α，
2019年
→
|AB·a|22??
则cos α＝＝|sin θ|∈?0，?，
→22??|a||AB|∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误； 设直线AB与直线b所成的夹角为β， →
|AB·b|2
则cos β＝＝|cos θ|.
→2|b||AB|
当直线AB与直线a的夹角为60°，即α＝60°时， 则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝∴|cos θ|＝
2， 2
221，∴cos β＝|cos θ|＝. 222
∵45°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确，①错误．
6．(2018·山西省榆社中学模拟)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
(1)证明：A1E⊥平面AC1D；
(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为10
，求异面直线BM与NE所成角的余弦值． 20
(1)证明 由已知得△A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1， 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，C1D?底面A1B1C1，则AA1⊥C1D. 又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面ABB1A1， ∴C1D⊥平面ABB1A1，又A1E?平面ABB1A1， ∴C1D⊥A1E. 易证A1E⊥AD，
又AD∩C1D＝D，AD，C1D?平面AC1D， ∴A1E⊥平面AC1D.
(2)解 取BC的中点O，B1C1的中点O1，连接AO，则AO⊥BC，OO1⊥BC，OO1⊥AO， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
2019年
则B(0,1,0)，E(0,1,1)，
?31?
，，2?， ?22?
3?→→?3
设C1N＝λC1D＝?λ，λ，0?，
2?2?
3?3?→→→
则NE＝C1E－C1N＝(0,2，－1)－?λ，λ，0?
2?2?
33??＝?－λ，2－λ，－1?，
2?2?
C1(0，－1,2)，D?
易知n＝(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量， →
∴|cos〈NE，n〉|＝
3λ23λ－6λ＋5
2
＝
10， 20
1
解得λ＝(负值舍去)．
3
33?→?→→→?3?→?→?3
∴NE＝?－，，－1?，C1M＝2λC1D＝?，1，0?，BM＝BC1＋C1M＝?，－1，2?，
?62??3??3?→→∴cos〈NE，BM〉＝
13－－－26210×3
1110＝－，
4016
3
1110
∴异面直线NE与BM所成角的余弦值为.
40
7．(2017·全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角
D—AE—C的余弦值．
(1)证明 由题设可得
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