2019年
△ABD≌△CBD. 从而AD=CD,
又△ACD为直角三角形, 所以∠ADC=90°,
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又因为△ABC是正三角形,故BO⊥AC, 所以∠DOB为二面角D—AC—B的平面角, 在Rt△AOB中,BO+OA=AB,
又AB=BD,所以BO+DO=BO+AO=AB=BD,故∠DOB=90°, 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OA为x轴正方向,OB为y轴正方向,OD为z轴正方向,|OA|为单位长度,建立如图所示的空
间直角坐标系O-xyz,
则O(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0,1),B(0, 3,0),C(-1,0,0),
1
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平
2131??
面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E?0,,?,
222??31?→→?→
故AE=?-1,,?,AD=(-1,0,1),OA=(1,0,0).
22??
设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面AEC的法向量为n2=(x2,y2,z2), →??AE·n1=0,
则?→??AD·n1=0,
→→→→
??-x1+3y1+1z1=0,
22即?
??-x1+z1=0,
2019年
令x1=1,则n1=?1,→??AE·n2=0,?→??OA·n2=0,
?
?3?,1?. 3?
??-x2+3y2+1z2=0,
22即?
??x2=0,
令y2=-1,则n2=(0,-1,3),
设二面角D—AE—C的平面角为θ,易知θ为锐角, |n1·n2|7
则cos θ==.
|n1||n2|7
8.(2018·全国Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值. (1)证明 因为PA=PC=AC=4,
O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=23. 如图,连接OB.
因为AB=BC=
2
AC, 2
所以△ABC为等腰直角三角形, 1
所以OB⊥AC,OB=AC=2.
2由OP+OB=PB知PO⊥OB.
因为OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,OB,AC?平面ABC, 所以PO⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知OP,OB,OC两两垂直,则以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为
2
2
2
2019年
x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),
A(0,-2,0),C(0,2,0), P(0,0,23),AP=(0,2,23).
→
由(1)知平面PAC的一个法向量为OB=(2,0,0). →
设M(a,2-a,0)(0≤a≤2),则AM=(a,4-a,0). 设平面PAM的法向量为n=(x,y,z). →→
由AP·n=0,AM·n=0,得
→
?2y+23z=0,?
?ax+?4-a?y=0,
可取y=3a,得平面PAM的一个法向量为n=(3(a-4),3a,-a),
23?a-4?→
所以cos〈OB,n〉= . 222
23?a-4?+3a+a3→
由已知可得|cos〈OB,n〉|=cos 30°=,
223|a-4|3
所以=, 222
223?a-4?+3a+a4
解得a=-4(舍去)或a=.
34??8343
所以n=?-,,-?.
33??3
3→→
又PC=(0,2,-23),所以cos〈PC,n〉=. 4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
3. 4
B组 能力提高
9.(2018·北京海淀区模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,点P在侧面ABB1A1内,若D1P垂直于CM,则△PBC的面积的最小值为________.
2019年
答案
25
5
解析 以D为原点,以DC所在直线为y轴,以DA所在直线为x轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略). 则P(2,y,z),D1(0,0,2), →
所以D1P=(2,y,z-2). 因为C(0,2,0),M(2,0,1), →
所以CM=(2,-2,1), →→因为D1P⊥CM,
所以4-2y+z-2=0,∴z=2y-2. 因为B(2,2,0), →
所以BP=(0,y-2,z),
→22222
所以|BP|=?y-2?+z=?y-2?+?2y-2?=5y-12y+8. 因为0≤y≤2,
625→
所以当y=时,|BP|min=.
55因为BC⊥BP,
12525
所以(S△PBC)min=×2×=.
255
10.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,点P为线段A1C上的动点(包含线段端点),则下列结论正确的是________.(填序号)
→→
①当A1C=3A1P时,D1P∥平面BDC1;
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