2019年
△ABD≌△CBD. 从而AD＝CD，
又△ACD为直角三角形， 所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D—AC—B的平面角， 在Rt△AOB中，BO＋OA＝AB，
又AB＝BD，所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD，故∠DOB＝90°， 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空
间直角坐标系O－xyz，
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(0，0，1)，B(0， 3，0)，C(－1，0,0)，
1
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平
2131??
面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E?0，，?，
222??31?→→?→
故AE＝?－1，，?，AD＝(－1，0，1)，OA＝(1,0,0)．
22??
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面AEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →??AE·n1＝0，
则?→??AD·n1＝0，
→→→→
??－x1＋3y1＋1z1＝0，
22即?
??－x1＋z1＝0，
2019年
令x1＝1，则n1＝?1，→??AE·n2＝0，?→??OA·n2＝0，
?
?3?，1?. 3?
??－x2＋3y2＋1z2＝0，
22即?
??x2＝0，
令y2＝－1，则n2＝(0，－1，3)，
设二面角D—AE—C的平面角为θ，易知θ为锐角， |n1·n2|7
则cos θ＝＝.
|n1||n2|7
8．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． (1)证明 因为PA＝PC＝AC＝4，
O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝23. 如图，连接OB.
因为AB＝BC＝
2
AC， 2
所以△ABC为等腰直角三角形， 1
所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.
2由OP＋OB＝PB知PO⊥OB.
因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC， 所以PO⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为
2
2
2
2019年
x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，
A(0，－2,0)，C(0,2,0)， P(0,0,23)，AP＝(0,2,23)．
→
由(1)知平面PAC的一个法向量为OB＝(2,0,0)． →
设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)． 设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)． →→
由AP·n＝0，AM·n＝0，得
→
?2y＋23z＝0，?
?ax＋?4－a?y＝0，
可取y＝3a，得平面PAM的一个法向量为n＝(3(a－4)，3a，－a)，
23?a－4?→
所以cos〈OB，n〉＝ . 222
23?a－4?＋3a＋a3→
由已知可得|cos〈OB，n〉|＝cos 30°＝，
223|a－4|3
所以＝， 222
223?a－4?＋3a＋a4
解得a＝－4(舍去)或a＝.
34??8343
所以n＝?－，，－?.
33??3
3→→
又PC＝(0,2，－23)，所以cos〈PC，n〉＝. 4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
3. 4
B组 能力提高
9．(2018·北京海淀区模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为________．
2019年
答案
25
5
解析 以D为原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)． 则P(2，y，z)，D1(0,0,2)， →
所以D1P＝(2，y，z－2)． 因为C(0,2,0)，M(2,0,1)， →
所以CM＝(2，－2,1)， →→因为D1P⊥CM，
所以4－2y＋z－2＝0，∴z＝2y－2. 因为B(2,2,0)， →
所以BP＝(0，y－2，z)，
→22222
所以|BP|＝?y－2?＋z＝?y－2?＋?2y－2?＝5y－12y＋8. 因为0≤y≤2，
625→
所以当y＝时，|BP|min＝.
55因为BC⊥BP，
12525
所以(S△PBC)min＝×2×＝.
255
10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)
→→
①当A1C＝3A1P时，D1P∥平面BDC1；
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