（完整版）统计学第5-6章正态分布、统计量及其抽样分布

（5）

P(X?5?9)

X?52解：由X:N(5,3)，

3:N(0,1) （1）

P(X?10)?P(X?510?53?3)?P(X?53?1.67)??1.67

???(t)dt??(1.67)?0.9522P(2?X?10)?P(2?5X?510?53?3?3)?P(?1?X?5(2)

3?1.67)??(1.67)??(?1)?0.7938（3）

P(2?X?8)?P(2?5X?58?53?3?3)?P(?1?X?53?1)

?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826（4）

5

X?56P(X?5?6)?P(?)33X?5?P(?2)3

?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544（5）

3

?2?(3)?1?2?0.9987?1?0.9974

2X:N(?,?)，则有 一般，若

b??a??P(a?X?b)??()??()

??P(X?5?9)?P(X?5?3)

5.1.4 3若

?准则

X:N(0,1)，则有

P(X?1)?2?(1)?1?0.6826

P(X?2)?2?(2)?1?0.9545

P(X?3)?2?(3)?1?0.9973

即，X的取值几乎全部集中在至一般正态总体，即

??3,3?区间内，超出这个范围的可能不到0.3%

2X:N(?,?)，有

P(X????)?0.6826

6

P(X???2?)?0.9545

P(X???3?)?0.9973

显然P(X???3?)的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区

间(??3?,??3?)内——统计学的“3?准则”

5.1.5 正态分布函数的一个重要性质

设变量X:N(?1,?21)，Y?N(?2,?22),X与Y相互独立,则有 X+Y:N(?221+?2,?1+?2) X-Y:N(?1-?222,?1+?2)

5.1.6 求分位数

Z?

设

X:N?0,1?

P(X?Z????)Z?(x)dx???

Z?=-Z1-?

常用的几个Z分位数:

Z0.05?1.64,Z0.025?1.96

Z0.95?-1.64,Z0.975?-1.96

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5.2 由正态分布导出的几个重要分布

三大分布：

?,t,F分布

22?5.2.1分布

1 定义：设随机变量

X1,X2,L,Xn相互独立，且

Xi:N(0,1)n的

(i?1,2,L,n)，则它们的平方和服从自由度为

x2分布。

记做，2

?Xk=12i:?(n)

2x2分布的密度函数图形

1φ(x)0.5k=2k=3k=600510x15

图形特点：

（1）

xxx2分布的变量值始终为正。

2分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，

（2）

随着自由度的增大逐渐趋于对称。 （3）

2分布的期望为E(?2)?n，方差为D(?2)?2n（n为自由

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