22．1. 二次根式（1）
教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用
a（a≥0）的意义解答具体题目．
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
”解决具体问题． a（a≥0）
2．难点与关键：利用“ 教学过程：一、回顾
当a是正数时，当a是零时，当a是负数时，二、概括：
a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． a没有意义．
a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平
2； （2）(a)=a（a≥0）． a≥0（a≥0）
方等于a．即有： （1）
形如
注意：在二次根式
a（a≥0）的式子叫做二次根式．
a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
三、例题讲解
例题： x是怎样的实数时，二次根式
x?1有意义？
分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解：
被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式
x?1有意义．
思考：
a2等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a≥0时，
a2?a； 当a＜0时，a2??a．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：
4x2?(2x)2=2x（x≥0）；
x4?(x2)2?x2．
四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义. （1）
23?4x； （2）3x?2； （3）(x?3)； （4）
3x?4?4?3x
五、 拓展
1
例：当x是多少时， 分析：要使2x?3+1在实数范围内有意义？ x?12x?3+11在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1≠0． x?1x?1 解：依题意，得??2x?3?0
?x?1?0 由①得：x≥-
32
由②得：x≠-1 当x≥-
32且x≠-1时，2x?3+1在实数范围内有意义． x?1例：(1)已知y=2?x+x?2+5，求
xy的值．(答案:2)
(2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值．(答案:
25)
六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如“a（a≥0）的式子叫做二次根式，
”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：
22.1 二次根式（2）
教学内容：1．（a）2=a（a≥0）． a（a≥0）是一个非负数； 2．
，并利用它们进行计算和化简． a（a≥0）是非负数和（a）2=a（a≥0）
教学目标：1、理解 2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出算术平方根的意义导出（a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合
；最后运用结论严谨解题． a）2=a（a≥0）
（a）2=a（a≥0）及其运用． a（a≥0）是一个非负数；
教学重难点关键：1．重点：2．难点、关键：用分类思想的方法导出2
a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）=a（a≥0）．
教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，
a叫什么？当a<0时，a有意义吗？
2
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______； 4）2=_______；
（127）=______；（32）2=_______；（0）2=_______．
老师点评：①、4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
②、
同理可得：（（9）2=9，（3）2=3，（2）2=2，
2 1217）=，（332）2=
72，（（a）0）2=0，所以 ：= a（a ≥ 0） 三、例题讲解
例1 计算： 1．（32）2 ， 2．（3（5）2 ， 3．
527） ， 4．（26）2
分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．
（5）2=32·5=45， 5）2 =32·
解：1. （32）2 =
32， 2.（33.（ 四、巩固练习
5257）=， 4.（6262(7)7）2=． ?224 计算下列各式的值：
（18）2 （23）2 （792
） （0）2 （448）2(35)2?(53)2
五、应用拓展 例2 计算 1．（2，2．（ax?1）2（x≥0）
）2 ，3．（2（4x?a2?2a?1）2 ，4．12x9?）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；
（2）a2≥0；
（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
3
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（x?1）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，
∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 六、归纳小结：本节课应掌握： 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．
（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：
22.1 二次根式（3）
教学内容
a2＝a（a≥0）
教学目标：1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、 通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键：1．重点：a2＝a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立．
教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．a（a≥0）是一个非负数；
3．(a)2＝a（a≥0）
． 那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知：（学生活动）填空：
4
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