习题集六样本与抽样分布解答

(Ｃ)．

X?1X?1～N(0,1) (Ｄ)～N(0,1) 9315．设X1,?Xn是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本，X和S分别为样本的均值和标

准差，则有（ ）。

n

X22

(Ａ)ｎX～N(0,1) (Ｂ)X～N(0,1) (Ｃ)～ｔ(n-1) (Ｄ)?Xi～?(n)

Si?1

16．设X，Y相互独立，X～N(?1,?1)，Y～N(?2,?2)，X1,?Xn1为X的样本，

22Y1,?Yn2为Y的样本，则有（ ）。

(Ａ)X－Y～N(?1??2,?12n1?2?2n2) (Ｂ)X－Y～N(?1??2,?12n1?2?2n2)

(Ｃ)X－Y～N(?1??2,?12n1?2?2n2) (Ｄ)X－Y～

N(?1??2,?12n1?2?2n2)

三、解答题

1．设X1,X2,X3是总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知而??0未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？ （1）X1?X2?X3；是 （2）X3?3?；是 （3）X1； 是

2（4）?X2； 是

（5）

?Xi?13i?2；不是

（6）max{Xi}； 是 （7）??X3；不是

2． 在总体N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在

50.8与53.8之间的概率。

6.32) 解：X~N(52,36

P?50.8?X?53.8??P??1.142???(1.714)??(?1.142)?0.8293X?52?1.7146.3/6?

3． 对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值x与样本方差的观测值s2，由此你能得到什么结论? (1)5，2，3，5，8： x=4.6 s2?2.0592

(2)105，102， 103，105，108 x=104.6 s2?2.0592

4． 设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本X1,X2,...,Xn的概率函数或密度函数 ： (1)X~B(1,p)； (2)X~Exp(?)； (3)X~U(0,?),??0。 解：

(1) P(X?xi)?pxi(1?p)1?xi,i?0,1 P(X1?x1,X2?x)?pxi2,,Xn?xn?i?1n?(1p1?xi?)?p?1inxin??p(1?xii?1n) i??e??x,x?0(2) f(x)??

?0,x?0 f(x1,x2,???x???ei,xn)??f(xi)??i?1i?1?0,?nn?n???xin??ei?1,xi?0(i?1,2,???i?1??0,xi?0(i?1,2,,n)n,n)

?1?,??0(3) f(x)???

??0,??0

f(x1,x2,?1?,,xn)??f(xi)???n0?xi??(i?1,2i?1??0,o.wn,n)

5. 设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本．在下列三种情形下，分别求出

E(X),D(X),E(S2).

p(1?p) E,S2(?p)?p(1n111(2)X~Exp(?)； E(X)?,D(X)?2,E(S2)?2

?n??(1)X~B(1,p)； E(X)?pD,X(?)(3)X~U(0,?),??0。E(X)?)?2,D(X)??212n,E(S)?2?212

6. 设X1,X2,...,Xn 是独立同分布的随机变量，且都服从N(0,?2)，试证： （1）

1?2?Xi?1nn2i~?2(n)；

（2）解：

1n?2(?Xi)2~?2(1)

i?1（1）X1,X2,...,Xn 是独立同分布的随机变量，且都服从N(0,?2)

Xi?1X~N(0,1)i,i?(?，1n,独立2)

?2?X??(2ii?1i?1nnXi?2)2~?(n)

（2）?Xi~N(0,n?),2i?1n?Xi?1ni?n2~N(0,1)

?n??Xin12i?1?(X)??in?2i?1??n?????~?2(1) ???7．设X1,X2是取自总体X的一个样本． 试证：X1?X 与 X2?X 相关系数等于-1.

解：

X1?X2111)??cov(X1,X1)?cov(X1,X2)]?(?2?0)??22222?2112D（X1?X）=D(X1）?D(X）-2cov(X1,X)=???2?2??222211同理cov(X2,X)??2,D（X2?X）=?2

22cov(X1?X,X2?X)?cov(X1,X2)?cov(X1,X)?cov(X,X2)?cov(X,X)cov(X1,X)?cov(X1,?0??22??22??22???22?X?X,X12?X?cov(X1?X,X2?X)D(X1?X)D(X2?X)???22?1 2?228. 设X1,X2,...,Xn是取自正态总体N(?,?)的一个样本，试求统计量?ciXi的

i?1n分布，其中ci(i?1,2,...,n)是不全为零的已知常数。 解：?ciXi~N(?ci?,?ci2?2)

i?1i?1i?12)的样9. 设X1,X2,...,Xn 和Y1,Y2,...,Ym分别是取自正态总体N(?1,?12)和N(?2,?2nnn本，且相互独立，试求统计量U?aX?bY的分布，其中a,b是不全为零的已知常数； 解：

Xi~N(?1,?),i?1,2,21a2?12,n,X~N(?1,),aX~N(a?1,)nn

?12Yj~N(?2,?),j?1,2,222b2?2,m,Y~N(?2,),bX~N(b?2,)nn

2?22a2?12b2?2aX?bX~N(a?1?b?2,?)

nn10. 设X1,X2,...,X5是取自正态总体N(0,?2)的一个样本,试证: