2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析汇总

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 已知当x?0时，f?x??3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则 ( )

k(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c =?4 (C) k=3,c =4 (D) k=3,c =?4 【答案】 (C)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 当x?0时，sinxx 在本题中，

lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2x ?limkkx?0x?0cxcx ?limx?0sinx?3?cos2x?2cos2x?cxk3??2cos2x?1??2cos2xcxk?13?cos2x?2cos2x?lim x?0cxk?14?4cos2x4sin2x?lim?lim k?1x?0x?0cxk?1cx ?limx?0 ?lim故选择(C).

4?1?c?4,k?3，

x?0cxk?3(2) 已知函数f?x?在x=0处可导，且f?0?=0，则limx?0x2f?x??2f?x3?x3= ( )

(A) ?2f??0? (B) ?f??0? (C) f??0? (D) 0. 【答案】(B)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 lim在本题中，

x?0f(x0?x)?f(x0)?f?(x0)

xlimx?0x2f?x??2f?x3?x3?limx?0x2f?x??x2f?0??2f?x3??2f?0?x3

?f?x??f?0?f?x3??f?0????f??0??2f??0???f??0? ?lim??23x?0xx????故应选(B)

(3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是 ( )

(A)若

?un?1?n收敛，则

?(un?1?2n?1?u2n)收敛 (B) 若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛

n?1n?1??(C) 若

?un?1?n收敛，则

?(un?1?2n?1?u2n)收敛 (D) 若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛

n?1n?1??【答案】(A)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数

?un?1?n收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一

项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数

?(un?1?2n?1?u2n)是级数?un经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当?un收敛时，

n?1n?1???(un?1?2n?1?u2n)也收敛，故（A）正确.

??0?0(4) 设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是( )

(A) I?J?K (B) I?K?J (C) J?I?K (D) K?J?I 【答案】(B)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[a,b]上，f(x)?g(x)，则

?baf(x)dx??g(x)dx(a?b)

abπ/4 在本题中，如图所示： 因为0?x??4，所以0?sinx?cosx?1?cotx

又因lnx在(0,??)是单调递增的函数，所以

?lnsinx?lncosx?lncotx x?(0,)

4?0?0?0??4lnsinxdx??4lncosxdx??4lncotxdx

即I?K?J.选（B）.

(5) 设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记

?100??100?????P1??110?，P2??001?，则A= ( )

?001??010??????1?1(A) P1P2 (B) P1P2 (C) P2P1 (D) P2P1

【答案】(D)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设A是一个m?n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

?100???在本题中，由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故A110?B,

???001????1即AP1?B,故A?BP1

?100???由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故001B?E

???010????1?1?1A?P2?1P?P2P即P2B?E,故B?P11,故选(D) 2?P2,因此，

(6) 设A为4?3矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则

Ax??的通解为( )

(A)

?2??32???3(C) 2?k1(?2??1)?k2(?3??1)

2?k1(?2??1)

?k1(?2??1) 2???3 (D) 2?k1(?2??1)?k2(?3??1)

2 (B)

?2??3【答案】(C)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）如果?1，?2是Ax?b的两个解，则?1??2是Ax?0的解； （2）如n元线性方程组Ax?b有解，设?1,?2,某个已知解，则k1?1?k2?2?,?t是相应齐次方程组Ax?0的基础解系，?0是Ax?b的

,kt为任意常数.

?kt?t??0是Ax?b的通解（或全部解），其中k1,k2,在本题中，因为?1,?2,?3是Ax??的3个线性无关的解，那么?2??1，?3??1是Ax?0的2个线性无关的解.从而n?r(A)?2，即3?r(A)?2?r(A)?1 显然r(A)?1，因此r(A)?1

由n?r(A)?3?1?2，知（A）（B）均不正确. 又A

(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是 ( )

(A) f1(x)f2(x) (B) 2f2(x)F1(x)

(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 【答案】(D)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

?2??32?111A?2?A?3??，故(?2??3)是方程组Ax??的解.所以应选（C）. 222