第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、 填空题

1．设样本空间??{x|0?x?2}，事件A?{x|14321412?x?1}, B?{x|14?x?32}，则A?B

?{x|0?x?}?{x|?x?2} , AB?{x|?x?12}?{x|1?x?3}2 ；

2. 连续射击一目标，Ai表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间?为

?

=A1； A1A2； ?； A1A2?An?1An； ?。

??二、选择题

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A为（D） （A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B）“甲、乙两种产品均畅销”; （C）“甲种产品滞销”; （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.

2. 在电炉上安装了4个温控器, 其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中, 只要有两个温控器的温度不低于临界温度t0, 电炉就断电. 以E表示事件“电炉断电”,而T（1）?T（2）?T（3）?T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于 （C）

(A) {T(1)?t0}； (B) {T(2)?t0}； (C) {T(3)?t0}； (D) {T(4)?t0}. 3. 对于任意二事件A和B,与A?B?B不等价的是（D）

(A) A?B; (B) B?A; (C) AB??; (D) AB??.

4. 如果事件A，B有B?A，则下述结论正确的是（C）

（A） A与B同时发生； （B）A发生，B必发生； （C） A不发生B必不发生； （D）B不发生A必不发生.

5. A表示“五个产品全是合格品”，B表示“五个产品恰有一个废品”，C表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）

(A) A?B; (B) A?C; (C) B?C; （D） A?B?C.

二、 计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色； (4) 有A,B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）{3,4,5,?,18}； （2）{3,4,5,?,10}；

（3）{R,W,B,RW,RB,WB,RWB}；其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色；

（4）{Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放

在盒子A中，可类推；

（5）{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（1）A发生,B和C不发生； （2）A与B都发生, 而C不发生； （3）A,B,C均发生； （4）A,B,C至少一个不发生； （5）A,B,C都不发生； （6）A,B,C最多一个发生； （7）A,B,C中不多于二个发生； （8）A,B,C中至少二个发生。 解 （1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A?B?C；（5）ABC； （6）ABC?ABC?ABC?ABC；（7）ABC；（8）AB3．下面各式说明什么包含关系？

(1) AB?A ； (2) A?B?A； (3) A?B?C?A 解 （1）A?B； （2）A?B； （3）A?B?C?AC?BC

4. 设??{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A?{2,3,4}, B?{3,4,5}, C?{5,6,7}具体写出下列各事件： (1) AB， (2) A?B， (3) A B， (4) ABC， (5)A(B?C). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令Ai表示“第i个开关闭合”, i?1,2,3,4,5,6，试用A1, A2, ?,A6表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

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系统Ⅰ 系统 Ⅱ

1 5 2 3 1 2 3 4 L1 4 R1 L2 6 R2

解 (1) A1?A2A3?A4 (2) A1A5?A1A2A3A4?A6A3A4?A6A2A5。

§1.2 事件的频率与概率

一．填空题

1．设事件A,B的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB的概率P(AB)? 0 ；

2．设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B表示B对立事件，那么积事件

AB 的概率P(AB)? 0.3 ； 3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(1) 当A,B互不相容时, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B?A时, P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 4. 若P(A)??,P(B)??,P(AB)??,P(A?B)?1??;P(AB)????;

P(A?B)=1????。

二、选择题

1. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C） （A）A和B不相容； （B）AB是不可能事件； （C）AB未必是不可能事件； （D）P(A)=0或P(B)=0. 2. 对于任意二事件A和B有P(A?B)? (C ) (A) P(A)?P(B); （B）P(A)?P(B)?P(AB); （C）P(A)?P(AB); （D）P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）

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(A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）

(A)(C)P(C)?P(A)?P(B)?1;(B)P(C)?P(A)?P(B)?1;P(C)?P(A?B).P(C)?P(AB); (D)

三、计算下列各题

1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?解14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?116，求事件A,B,C全不发生的概率。

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?31?3 ?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?1??????48?8

2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)报纸

?0.2?0.16?0.14?0.08?0.05?0.04?0.02?0.35

3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70

即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.

四、证明题

?P（B）?2P（AB）试证P（AB?AB）?P（A）.

证 P（AB?AB）?P（AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(A?B)?P(B?A)

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