L0是张力J为零时的L值，其中L是长度，它只是温度T的函数，b是常量. 试
证明：
（a）等温扬氏模量为
?bT?L2L20Y????. A?L0L2?在张力为零时，Y0?3bT.其中A是弹性线的截面面积。 A（b）线胀系数为
L3?11L30???0?, 3TL?23L0其中?0?1dL0. L0dT（c）上述物态方程适用于橡皮带，设T?300K,b?1.33?10?3N?K?1,
A?1?10?6m2,?0?5?10?4K?1，试计算当
L分别为0.5,1.0,1.5和2.0时的J,Y,?值，L0并画出J,Y,?对
L的曲线. L0解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为
?LL2?0J?bT??2?, （1）
?L0L?由此可得等温杨氏模量为
?bT?L2L2?L??J?L?12L200Y????bT??2???. （2） ?2?A??L?TA?L0L?A?L0L?
张力为零时，L?L0,Y0?3bT. A（b）线胀系数的定义为
??1??L???. L??T?J由链式关系知
6
???????, （3）
L??T?L??J?T1??J???L?而
?LL2??L2L0?dL0??J?0?b??bT,???2?2???2???T?L?L0L??L0L?dT 2?12L0???J??bT??3?,????L?T?L0L?所以
?LL2??L2L0?dL0L30b??2??bT?2?2??13LLdTdLL1?L0L?11?0?00?????. （4） 32LL0dTTL?12L??2bT??30?3L0?L0L?
（c）根据题给的数据，J,Y,?对
L的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）L0所示。
7
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U?U0?p0V0，其中V0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式（1.5.3）
U?U0?W?Q （1）
确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为W1和W2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为
W1??p0?V?p0V0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
W2?0.
因此式（1）可表为
U?U0?p0V0. （2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
p0V0?nRT, （3）
U0?U?CV(T?T0)?nR(T?T0) （4） ??1式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有
T??T0. （5）
活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，其物态方程为
p0V?nR?T0. （6）
与式（3）比较，知
V??V0. （7）
1.8 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证
8
明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为
Cn?n??CV n?1解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
??Q???U?Cn?lim???????T?0?T?T??n??n??V?p??. （1） ?T??n对于理想气体，内能U只是温度T的函数，
??U????CV, ?T??n所以
??V?Cn?CV?p??. （2） ?T??n将多方过程的过程方程式pVn?C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
TVn?1?C1（常量）。 （3）
将上式微分，有
Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,
所以
V??V???. （4） ???T(n?1)T??n代入式（2），即得
Cn?CV?pVn???CV, （5） T(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?常量。
解：根据热力学第一定律，有
9
Cn?CpCn?CV。假设气体的定压热容量和定容热容量是
dU??Q??W. （1）
对于准静态过程有
?W??pdV,
对理想气体有
dU?CVdT,
气体在过程中吸收的热量为
?Q?CndT,
因此式（1）可表为
(Cn?CV)dT?pdV. （2）
用理想气体的物态方程pV?vRT除上式，并注意Cp?CV?vR,可得
(Cn?CV)dTdV?(Cp?CV). （3） TV将理想气体的物态方程全式求微分，有
dpdVdT??. （4） pVT式（3）与式（4）联立，消去
dT，有 TdpdV?(Cn?Cp)?0. （5） pV(Cn?CV)令n?Cn?CpCn?CV，可将式（5）表为
dpdV?n?0. （6） pV如果Cp,CV和Cn都是常量，将上式积分即得
pVn?C（常量）。 （7）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.10 声波在气体中的传播速度为
????
????s??p?假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及?给出：
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